§ 5. Получение собственных аффинных преобразований посредством деформации тождественного преобразования. Следствия

Предположим, что аффинное преобразование является собственным, т. е. задается переходом от исходного репера к одноименному с ним реперу . Репер переходит в ренер посредством непрерывной деформации. Это значит, что для переменного i, пробегающего некоторый отрезок числовой прямой, например отрезок имеем репер , непрерывно зависящий от в том смысле, что коэффициенты матрицы перехода от базиса к базису и координаты точки суть непрерывные функции от , причем при ренер совпадает с , а при . Обозначим через аффинное преобразование, заданное переходом от репера к реперу . Оно записывается (в исходной системе координат )

и ставит в соответствие каждой точке точку этом для имеем тождественное преобразование, а при имеем данное преобразование коэффициенты суть непрерывные функции от i на отрезке. Это положение вещей выражают, говоря, что всякое собственное аффинное преобразование получается непрерывным видоизменением (непрерывной деформацией) тождественного преобразования — совершенно в том же смысле, в котором мы говорили, что всякий репер , одноименный с исходным репером , получается из него непрерывной деформацией. Так как разноименные реперы не могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией, несобственные аффинные преобразования не могут быть получень из тождественного преобразования его непрерывной деформацией.

Полученная только что характеристика собственных аффинных преобразований как аффинных преобразований, получающихся и: тождественного преобразования непрерывной деформацией, не зави от выбора исходной системы координат.

В самом деле, возьмем за исходный репер какой-нибудь репер напишем формулы, выражающие координаты х, у какой-нибудь точки относительно репера через координаты той же точки относительно репера :

Подставив в формулы (1) эти выражения для и аналогичные для получим

систему уравнений можно решить относительно по правилу Крамера и получить запись

преобразования уже в координатной системе . Здесь величины суть линейные комбинации величин , с постоянными коэффициентами (выражающимися через ) и поэтому, так же как и , являются непрерывными функциями от .

Итак, свойство семейства преобразований осуществлять непрерывную деформацию тождественного преобразования в преобразование не зависит от выбора системы координат.

Из доказанного вытекает

Теорема 7. Во всякой аффинной системе координат собственные аффинные преобразования имеют матрицу с положительным детерминантом, а несобственные — с отрицательным.

Замечание. Детерминант матрицы аффинного преобразования (относительно данного репера) называют кратко детерминантом преобразования (относительно этого репера), а знак этого детерминанта — знаком аффинного преобразования. Так как этот знак не зависит от репера, относительно которого берется матрица данного аффинного преобразования, то собственные аффинные преобразования иногда называются положительными, а несобственные — отрицательными.

При перемножении аффинных отображений их матрицы и детерминанты перемножаются, поэтому произведение двух собственных аффи иных преобразований есть собственное преобразование. По той причине преобразование, обратное к собственному, есть собственное. Так как тождественное преобразование является собственным, то:

Теорема 8. Собственные аффинные преобразования образуют группу (подгруппу группы всех аффинных преобразований).

Группу образуют и собственные движения.

Очевидно, имеет место и

Теорема 9. Группа собственных движений является в группе всех аффинных преобразований пересечением подгруппы всех движений с подгруппой собственных аффинных преобразований.