§ 8. Классификация движений прямой и плоскости

1. Движения прямой. Пусть на прямой дана система координат . Всякая другая система координат на этой прямой, имеющая тот же масштаб, либо имеет вид , (рис. 152) (т. е. отлнчаетоя

Рис. 152.

от системы лишь своим началом О), либо имеет вид (рис. 153) (т. е. отличается от началом и направлением). Системы одноименны; системы разноименны.

Рис. 153.

Переход от к порождает преобразование прямой, при котором всякая точка М, имеющая в системе координату , переходит в точку М, имеющую в той же системе координату

где а есть координата точки О в системе . Полученное преобразование есть, очевидно, сдвиг прямой на вектор .

Переход от системы к системе порождает преобразован не

Но это преобразование доставляя неподвижной точку может быть записано в виде

Если перенести начало координат в точку , т. е. сделать преобразование координат

то преобразование (II) примет вид

откуда видно, что оно является отражением (симметрией) прямой относительно точки .

Итак, доказана

Теорема 12. Всякое движение прямой является либо сдвигом (всех точек прямой на один и тот же вектор , лежащий на этой прямой), либо отражением прямой (симметрией) относительно некоторой точки этой прямой.

Сдвиги называются собственными, а отражения — несобственными движениями примой; для того чтобы физически осуществить отражение прямой относительно какой-нибудь ее точки, надо повернуть ее вокруг этой точки на угол я в какой-нибудь плоскости, содержащей нашу прямую, т. е. выйти за пределы самой прямой.

2. Движения плоскости. В предположении прямоугольной системы координат каждое движение плоскости записывается в виде

1° Рассмотрим сначала собственные движения (1) и выясним прежде всего, когда имеется точка, остающаяся при данном движении неподвижной. Для такой точки имеем

т. е.

Детерминант этой системы уравнений есть

Он равен нулю, лишь когда одновременно

тогда формулы (1) превращаются в

— движение является сдвигом плоскости на вектор .

Во всех остальных случаях детерминант системы (3) положителен и эта система уравнений имеет единственное решение — при рассматриваемом (собственном) движении имеется единственная неподвижная точка . Перенесем начало координат в эту точку О, т. е. сделаем преобразование координат

13 этой новой системе координат формулы (1) примут вид

В самом деле, коэффициенты при переменных r формулах аффинного преобразования не зависят от положения начала координат, а свободные члены обратятся в нуль, так как образом начала О является сама эта точка.

Мы видим, что рассматриваемое движение есть поворот плоскости на угол а вокруг точки О.

Мы доказали следующее предложение.

Теорема 13. Всякое собственное движение плоскости есть или сдвиг плоскости на некоторый вектор , или поворот вокруг некоторой точки О на некоторый угол . В частности, всякое собственное движение, оставляющее неподвижной какую-нибудь точку, есть поворот плоскости вокруг этой точки.

Из сказанного ясно, что среди всех собственных движений сдвиги характеризуются каждым из следующих свойств:

(а) При сдвиге (не являющемся тождественным преобразованием) ни одна точка не остается неподвижной.

(б) При сдвиге каждый (свободный) вектор является инвариантным (т. е. переходит в самого себя).

С другой стороны, повороты (не являющиеся тождественным преобразованием) характеризуются каждым из следующих свойств:

(а) Имеется единственная неподвижная точка.

(б) Ни один вектор (кроме нулевого) не является инвариантным. 2° Пусть теперь дано несобственное движение (2). При этом движении всякий вектор перейдет в вектор , где

Будем искать такие (свободные) векторы , которые при рассматриваемом движении остаются инвариантными, т. е. переходят в себя; это векторы, удовлетворяющие системе уравнений

т. е.

Детерминант этой системы есть

Но не все его элементы равны нулю, так как не может быть одновременно

Поэтому имеется одномерное векторное многообразие решений системы (6), т. е. одномерное многообразие векторов, остающихся при рассматриваемом движении инвариантными; в частности, имеется ровно два (взаимно противоположных) инвариантных орта.

Один из них обозначим через и сделаем ортом новой прямоугольной координатной системы начало координат О остается пока прежним. Орт , очевидно, не яьляется инвариантным.

Посмотрим, как запишется несобственное движение (2) в новой координатной системе . Для этого заметим, что при этом движении (как при всяком движеиин) пара взаимно перпендикулярных ортов переходит в пару взаимно перпендикулярных ортов. Но переходит в , значит, орт должен перейти или в , или в . Первое невозможно (так как орт не является инвариантным), значит, при нашем движении (2) орт переходит в — а произвольный вектор — в вектор т. е. в .

Итак, в координатной системе движение (2) записывается в виде

Перенесем теперь начало координат в точку

т. е. сделаем преобразование координат

Тогда формулы (7), в которых надо положить и , перепишутся в виде

Мы видим, что рассматриваемое нами движение есть отражение относительно оси абсцисс координатной системы соединенное со сдвигом вдоль этой оси (на вектор ); при этот сдвиг превратится в тождественное преобразование.

Теорема 14. Всякое несобственное движение плоскости есть отражение относительно некоторой прямой d, соединенное со сдвигом плоскости на некоторый вектор, коллинеарный прямой d, который, разумеется, может равняться и нулю. В частности, всякое несобственное движение плоскости, оставляющее неподвижной хотя бы одну точку, есть отражение относительно некоторой прямой (и тогда все точки этой прямой являются неподвижными).

Таким образом, разобраны все движения плоскости, как собственные, так и несобственные.

Разбор движений пространства мы откладываем до главы XXV.