§ 3. Определение евклидовых пространств и простейших относящихся к ним понятий

Определение 2. Ввести в векторном пространстве евклидову метрику — значит определить в этом пространстве положительно определенную симметричную билинейную функцию . Пространство с какой-нибудь введенной в нем евклидовой метрикой называется евклидовым -мерным пространством.

Определение 3. Значение билинейной функции для двух данных векторов называется их скалярным произведением (в данном евклидовом пространстве) и обозначается через

Базисы ортонормальные относительно функции называются ортонормальными базисами данного евклидова пространства.

Из только что данного определения скалярного произведения следует, что оно обладает алгебраическими свойствами элементарного скалярного произведения в обычном трехмерном пространстве:

4° Число для всех векторов положительно, для равно нулю. Оно называется скалярным квадратом вектора

Определение 4. Число

называется длиной вектора и в евклидовом пространстве . Только нулевой вектор имеет длину, равную нулю. Если в данном ортогональном базисе имеем

то, очевидно,

На основании теоремы 2 основное определение 2 может быть сформулировано и так:

Определение 2. Ввести в -мерное векторное пространство евклидову метрику — значит выбрать среди всех классов ортогонально эквивалентных между собою базисов пространства один определенный класс К- Пространство рассматриваемое вместе с этим классом К, называется -мерным евклидовым векторным пространством Базисы, составляющие этот класс, называются ортонормальными базисами евклидова пространства Положительно определенная симметричная функция определенная в любом (и тогда в каждом) из ортогональных базисов пространства по формуле

называется скалярным произведением векторов и v; базисы класса К тождественны с базисами, ортонормальными относительно функции .

Определение 5. Ввести евклидову метрику в -мерное точечно-векторное пространство значит ввести ее в векторное пространство всех векторов пространства .

Точечно-векторное пространство с введенной в нем евклидовой метрикой называется точечно-векторным -мерным евклидовым, пространством (или просто -мерным евклидовым пространством) и обозначается через .

Определение 6. Координатная система в пространстве единичные векторы которой образуют ортонормальный базис (векторного пространства всех векторов пространства ), называется прямоугольной (или ортогональной) системой координат евклидова пространства .

Определение 7. Расстоянием между двумя точками А, В пространства называется длина вектора АВ; оно обозначается через

и равно нулю тогда и только тогда, когда точки совпадают. Если точки А и В заданы своими координатами в какой-нибудь прямоугольной системе координат:

для вектора АВ имеем

так

и

— обобщение формулы расстояния между двумя точками на плоскости и в трехмерном пространстве.

Наконец, имеет место следующее почти очевидное, но тем не менее очень важное предложение, доказанное в главе IV, § 2, для трехмерного пространства.

Теорема 3. Координаты каждого вектора и евклидова пространства относительно данного ортонормального базиса равны соответственно скалярным произведениям вектора и на векторы для имеем .

В самом деле, из следует

что и требовалось доказать.