§ 8. Плоскость в прямоугольной системе координат; нормальное уравнение плоскости; расстояние от точки до плоскости

Предполагаем до конца главы, что система координат прямоугольная.

Рис. 126.

Теорема 10. Пусть плоскость задана (в прямоугольной системе координат) своим уравнением

Тогда вектор перпендикулярен к плоскости .

В самом деле, если — произвольный вектор, лежащий в плоскости , то

что означает, что вектор перпендикулярен ко всякому вектору, лежащему в плоскости , т. е. перпендикулярен к плоскости , что и требовалось доказать.

Проведем теперь через начало координат О перпендикуляр («нормаль») ON к данной плоскости (рис. 127); через N обозначаем точку пересечения плоскости с этой нормалью.

Если плоскость проходит через начало координат (т. е. ), то положительное направление на нормали выбираем произвольно; в противном случае считаем положительным направление вектора ON (т. е. направление от начала координат к плоскости ). Орт этого направления обозначаем через , его направляющие косинусы — через , так что

На оси ON алгебраическое значение вектора ON есть число , равное расстоянию плоскости от начала координат. Пусть — какая-нибудь точка пространства. В том и только в том случае, когда она лежит в плоскости , ее ортогональная проекция на ось орта есть точка N, а проекция вектора ОМ есть вектор ON. Следовательно, для всех точек плоскости и только для них имеем

Но левая часть этого равенства есть

(см. гл. IV, § 2), так что точки плоскости и только они удовлетворяют уравнению

которое есть, следовательно, уравнение плоскости ; оно называется нормальным уравнением этой плоскости.

Рис. 127.

Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение

плоскости . Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости?

Так как уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же плоскость , то их соответствующие коэффициенты пропорциональны,

при некотором . Из равенств (3) определяем , а именно: из первых трех равенств (3) имеем

откуда

Знак определяем лишь в случае из четвертого равенства (3): так как , то , и, слсдопательно, к имеет знак, противоположный знаку .

Определение.

Число , имеющее модуль и знак противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (1). При можно знак выбрать произвольно.

Мы доказали: для того чтобы из произвольного («общего») уравнения плоскости (1) получить нормальное уравнение обе части уравнения (1) помножить на нормирующий множитель этого уравнения.

Рис. 128.

Аналогично случаю прямой на плоскости, нормальное уравнение плоскости позволяет определить расстояние любой точки пространства до этой плоскости.

Теорема 11.

Расстояние от точки плоскости , данной своим нормальным уравнением (2), равно модулю числа, получаемого, если в левую часть уравнения (2) подставить , т. е.

Доказательство. Через точку проводим плоскость параллельно плоскости (рис. 128) и рассмотрим ось, определенную ортом

перпендикулярным к обеим плоскостям и приложенным (как раньше) к началу координат. Эта ось пересечет плоскости лил соответственно в точках . Искомое расстояние равно длине вектора , т. е. модулю его алгебраического значения на только что определенной оси. Но (по лемме Шаля) имеем (все на той же оси)

причем

Поэтому

тогда как . Внося эти значения в (5), получаем

что и требовалось доказать.

Если плоскость задана общим уравнением (1), то расстояние от точки до этой плоскости находится по формуле