§ 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности n

Теорема 2. Для того чтобы два конечномерных векторных , странства были изоморфны между собою, необходимо и достаточно, чтобы они имели одну и ту же размерность.

Доказательство. Условие необходимо. Из сказанного в конце § 1 об изоморфизме следует: если в одном из двух изоморфных между собою пространств имеется линейно независимая система, состоящая из векторов, и нет линейно независимой системы, состоящей из большего числа векторов, то то же справедливо и для второго пространства.

Другими словами: два изоморфных между собою пространства имеют одну и ту же размерность.

Условие достаточно. Чтобы убедиться в этом, докажем, что всякое -мерное векторное пространство U изоморфно -мерному арифметическому пространству . Пусть — произвольный базис пространства U. Тогда каждый вектор однозначно записывается в виде

Ставя в соответствие вектору вектор , мы и получаем искомое изоморфное соответствие между пространствами U и (доказательство непосредственно вытекает из того, что при сложении двух векторов и , и их соответственные координаты складываются, а при умножении вектора на какое-нибудь число к на то же к умножаются и координаты вектора .

Замечание 1. Так как

то при только что установленном изоморфизме между векторными пространствами U и базис пространства U переходит в систему векторов

пространства , и эта система векторов образует базис пространства .

Вообще пусть U и - два изоморфных векторных пространства. При (произвольно выбранном) изоморфном соответствии между пространствами U и V любому базису пространства U соответствует некоторый базис пространства V и всякому вектору пространства U соответствует вектор пространства V, имеющий относительно базиса те самые координаты, которые вектор и имеет относительно базиса . Обратно, выбирая в двух -мерных пространствах по произвольному базису и сопоставляя друг с другом всякие два вектора и имеющие относительно этих базисов одни и те же координаты , получим изоморфизм между пространствами U и V.

Замечание 2. В дальнейшем мы будем постоянно обозначать векторные пространства данной размерности через , сохраняя для их арифметического -мерного пространства (которому они все изоморфны) обозначение .