ГЛАВА IV. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Уравнение окружности и сферы
1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает, что выбрана одна определенная единица длины, посредством которой измеряются длины всех отрезков (на плоскости или в пространстве). Такую единицу длины будем называть масштабом; считая его раз навсегда выбранным, мы называем ортом всякий вектор, длина которого равна 1.
После того, как масштаб выбран, прямоугольная система координат определяется (как частный случай общей аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы 
на плоскости; 
в пространстве) были взаимно перпендикулярными ортами.
Замечание. Теперь мы во всей этой главе будем предполагать, что система координат прямоугольная. Все проекции также предполагаются прямоугольными.
2. Формула для длины вектора (для расстояния между двумя точками) в прямоугольной системе координат. Пусть дан вектор 
(рис. 43). Приложим вектор и к началу координат:
Длину вектора 
обозначаем через 
. Обозначая через 
проекции точки М на оси координат, имеем 
и (по теореме Пифагора)
т. е.
Аналогично в пространстве для вектора
имеем
- квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат.
Рис. 43.
Рис. 44.
Отсюда непосредственно вытекает формула для расстояния 
между двумя точками (рис. 44):
Так как 
, то
Аналогично в пространстве для точек
имеем
3. Уравнение окружности; замечание об уравнении линии вообще. Пусть на плоскости дана система прямоугольных координат. Рассмотрим на этой плоскости окружность с центром 
и радиусом r (рис. 45).
Эта окружность есть геометрическое место точек 
плоскости, расстояние которых от точки С равно r. Другими словами, необходимым и достаточным условием, чтобы точка 
лежала на нашей окружности, является условие
т. е.
Так как 
то уравнению (1) эквивалентно
Уравнение (2) называется уравнением окружности с центром 
и радиусом r. Если центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
Вообще, уравнение, в котором (кроме заданных постоянных чисел) участвуют еще переменные x, у (координаты какой-нибудь точки плоскости в данной системе координат), называется уравнением данной линии, если оно выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка 
лежала на данной линии.
Это определение, разумеется, пригодно и в случае любой системы координат (а не только прямоугольной); так, уравнение
есть уравнение оси абсцисс, а
— уравнение оси ординат (данной произвольной аффинной системы координат).
4. Уравнение сферы. В пространстве с данной прямоугольной системой координат сфера (шаровая поверхность) с центром 
и радиусом r определяется как геометрическое место точек x, у, z), расстояние которых от точки С равно r. Поэтому уравнение
выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка 
лежала на нашей сфере: уравнение (3) есть уравнение сферы с центром 
и радиусом r.
Рис. 45.
Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
