§ 3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные параллелепипеды

1. Прямая в -мерном пространстве. Определение . Пусть в -мериом аффинном пространстве дана точка и ненулевой вектор . Этими данными определено множество , состоящее из всех точек М, являющихся концевыми точками всевозможных векторов вида , где t — произвольное действительное число, приложенных к точке А. Так определенное множество называется прямой, проходящей через точку А (в пространстве ) и имеющей (или «несущей на себе») направляющий вектор .

Точка , являющаяся концом вектора

, приложенного к точке А, имеет, очевидно, координаты

Эта система равенств, в которой параметр t пробегает все действительные значения, дает нам все точки прямой и только точки прямой поэтому система (1) называется параметрическим уравнением этой прямой, единственное число — «уравнение», не «уравнения» объясняется (как и в случае тем, что система уравнений (1) представляет собою координатную запись всего лишь одного векторного уравнения

которому удовлетворяют все точки прямой и только они.

Пусть — две произвольные точки; построим прямую, проходящую через точку А и имеющую вектор АВ своим направляющим вектором. Это будет прямая, проходящая через две точки А и В; она единственна — ее параметрическое уравнение будет () или

При получим точку А, при - точку точки, получающиеся из или (2) при t, удовлетворяющем неравенству , по определению образуют замкнутый отрезок АВ нашей прямой. При получаем открытый отрезок прямой .

Равенства (2) можно переписать в виде

или, полагая , в виде

что мы кратко записываем так:

Здесь числа s и пробегают всевозможные действительные значения, связанные между собою лишь равенством

Эти числа s и t называются барицентрическими координатами точки М (на прямой) в системе барицентрических координат, состоящей из пары точек А к В.

Точки открытого отрезка АВ при этом, очевидно, характеризуются тем, что (значит, и ), т. е. что и s, и t положительны.

Как известно из механики (в случае , точка с положительными барицентрическими координатами s и t есть центр тяжести масс s и t, помещенных соответственно в точках А и В. Отсюда и название «барицентрические координаты» (barycentrum — центр тяжести); поэтому равенство (2) выражают словами, говоря, что точка М есть взвешенная сумма точек (числа s w t суть «веса», с которыми точки А и В входят в сумму ).

2. Общее определение -мерной плоскости -мерного аффинного пространства . Вернемся к определению прямой на стр. 348. Если вектор отличен от нуля, то множество всех векторов вида есть одномерное векторное многообразие, а именно одномерное векторное подпространство пространства , и каждое одномерное подпространство состоит из всех векторов вида при некотором . Поэтому данное выше определение прямой может быть кратко сформулировано так:

Прямая есть множество всех точек М, получаемых, если к какой-нибудь фиксированной точке прилагать все векторы, принадлежащие некоторому одномерному подпространству многообразия всех векторов пространства .

Непосредственным обобщением этого является

Определение . Пусть дано какое-нибудь -мерное, , векторное подпространство многообразия всех векторов -мерного аффинного пространства . Будем прилагать всевозможные векторы к какой-нибудь фиксированной точке множество полученных точек М — концов векторов

— есть, по определению, -мерная плоскость (заданная точкой А и -мерным векторным многообразием V). Векторы v этого многообразия называются векторами, лежащими в плоскости .

Беря в векторном пространстве какой-нибудь базис , можем, очевидно, сказать:

Всякая -мерная плоскость задается точкой А и линейно независимой системой, состоящей из векторов пространства , как множество точек, получаемых, если к точке А прилагать векторы вида

где коэффициенты пробегают независимо друг от друга всевозможные действительные значения. Полученная плоскость называется -мерной плоскостью, натянутой на точку А и векторы .

В такой форме наше определение является непосредственным обобщением задания обыкновенной плоскости в трехмерном пространстве точкой и парой неколлинеарных векторов.

Многообразие всех векторов , лежащих в плоскости , есть множество всех векторов вида , где P к Q суть точки плоскости .

В самом деле, пусть приложим вектор v к точке P; получим , надо доказать, что . Но

т. е. . По предположению , а так как , то и поэтому .

Пусть, обратно, докажем, что . Имеем . Так как и , то и , чем утверждение доказано.

Из доказанного следует, что точки плоскости и векторы, лежащие в этой плоскости, удовлетворяют (при действиях над векторами и точками, определенными в ) аксиомам -мерного аффинного пространства. Другими словами: всякая -мерная плоскость пространства , рассматриваемая как множество лежащих в ней точек и векторов, является -мерным аффинным подпространством пространства .

Обратно, пусть есть -мериое аффинное подпространство аффинного пространства (т. е. -мерное аффинное пространство, точки и векторы которого суть соответственно точки и векторы пространства , причем соотношения, связывающие векторы, а также векторы и точки в , суть те же самые, которые для этих векторов и точек установлены в ). Тогда, прилагая к какой-нибудь точке все векторы аффинного пространства , получим в силу аксиом II и III все точки и только точки так что есть -мерная плоскость пространства .

Итак, понятие -мерной плоскости -мерного аффинного пространства совпадает с понятием -ыерного аффинного подпространства пространства . При этом . При получим нульмерную плоскость, состоящую из единственной точки А; в ней лежит лишь нулевой вектор. При единственной -мерной плоскостью пространства является само пространство . Очевидно, одномерными плоскостями пространства являются лежащие в прямые.

По определению -мерпой плоскости, натянутой на точку А и векторы их, , ее точки удовлетворяют следующему векторному уравнению:

где параметры пробегают независимо друг от друга все действительные значения. Пусть

Если приравнять между собою, при каждом , 1-е координаты векторов, образующих левую и правую части уравнения (3), то получим следующую систему уравнений, эквивалентную уравнению (3):

Уравнение (3) или эквивалентная ему система (4) называется параметрическим уравнением -мерной плоскости.

Если в уравнении (3) или эквивалентной ему системе (4) рассматривать лишь значения параметров принадлежащие сегменту то полученные точки М образуют множество, называемое (-мерным) параллелепипедом, натянутым на точку А и приложенные к ней векторы .