§ 4. Сохранение отношений площадей и объемов при аффинных преобразованиях

Выведем из только что доказанного одно важное следствие (сначала для плоскости).

Пусть на плоскости с выбранной на ней прямоугольной системой координат даны два вектора: . Мы знаем

(гл. VII, § 1), что площадь ориентированного параллелограмма, натянутого на эти векторы, есть

При аффинном преобразовании плоскости с матрицей С векторы переходят соответственно в , где имеем

так

Но справа стоит (см. гл. VII, § 10) произведение детерминантов

так

Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат. Тогда для любых трех векторов и аффинного преобразования , переводящего эти векторы соответственно в доказывается формула

Итак, имеет место

Теорема 6. При аффинном преобразовании плоскости (соответственно пространства) площадь ориентированного параллелограмма, построенного (в данной плоскости) на двух каких-либо векторах (соответственно объем ориентированного параллелепипеда, построенного на трех векторах), умножается на детерминант преобразования.

Следствие. При аффинном преобразовании плоскости (соответственно пространства) отношение площадей параллелограммов (соответственно объемов параллелепипедов) сохраняется.

Уже из элементарной геометрии известно, что площади любых многоугольников посредством триангуляции, т. е. разбиения этих фигур на треугольники, сводятся к площадям треугольников, и, следовательно, параллелограммов. В интегральном исчислении показывается, что посредством предельного перехода площади и объемы любых фигур сводятся к элементарным, т. е. в конечном счете к площади параллелограмма, соответственно к объему параллелепипеда. Поэтому при аффинном преобразовании площади и объемы любых Фигур умножаются на детерминант преобразования, а отношения площадей (объемов) сохраняются.