ГЛАВА XX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II

(ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ; ОСОБЫЕ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ; АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ)

§ 1. Диаметральные плоскости. Особые направления

1. Плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению. Пусть (в какой-нибудь аффинной системе координат) дана поверхность второго порядка

где, как всегда,

Рассмотрим совокупность всех прямых d, имеющих одно и то же неасимптотическое для данной поверхности направление

Каждая такая прямая d пересекает поверхность (1) в двух точках (вещественных, быть может, совпадающих или мнимых сопряженных); отрезок называется хордой, высекаемой из данной прямой d поверхностью (1).

Уравнение прямой d записывается в виде

где — какая-нибудь произвольно зафиксированная точка этой прямой.

В § 5 главы XIX было установлено, что точка прямой d тогда и только тогда является серединой хорды, высеченной из этой прямой поверхностью (1), когда выполнено условие

где, как всегда, положено

Перепишем уравнение (3), внося в него значения из (4) и отбрасывая индекс нуль у координат. Получим

или, раскрывая скобки и по-новому группируя члены,

Уравнению которое есть уравнение некоторой плоскости арг, удовлетворяют все те и только те точки, которые являются серединами хорд, высекаемых поверхностью (1) из всевозможных прямых направления Другими словами: плоскость есть геометрическое место середин хорд поверхности (1), имеющих направление : эта плоскость называется плоскостью, сопряженной направлению относительно поверхности (1).

Замечание 1. Плоскость сопряженная данному направлению, определена геометрически как геометрическое место середин хорд направления поэтому она не зависит от выбора той или иной системы координат.

2. Плоскость, сопряженная асимптотическому направлению; общее определение диаметральной плоскости. В определении плоскости, сопряженной данному направлению, предполагалось, что это направление пеасимитотическое. Это предположение обосновано, так как из прямой асимптотического направления поверхность не высекает никакой хорды.

Однако уравнение может иметь смысл и для асимптотического направления определенную этим уравнением плоскость мы будем и в случае асимптотического направления - называть плоскостью, сопряженной направлению

Наконец, назовем какую-нибудь плоскость диаметральной плоскостью поверхности (1), если существует (хотя бы одно) направление, неасимптотическое или асимптотическое, для которого эта плоскость является сопряженной относительно поверхности (1).

Уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направлению всегда будем писать в виде

где

Замечание 2. Диаметральную плоскость, сопряженную направлению будем называть, когда это покажется удобным, и плоскостью, сопряженной любому вектору этого направления.

3. Простейшие свойства диаметральных плоскостей. Пусть — точка, являющаяся центром поверхности (1) (может быть, не единственным). Тогда

и уравнение (3) (или, что то же, уравнение ) удовлетворено при любых .

Другими словами:

I. Всякая диаметральная плоскость содержит все центры данной поверхности.

Мы увидим (в § 2, пп. 1 и 2), что если поверхность (1) имеет хотя бы один центр, то верно и обратное предложение:

Всякая плоскость, содержащая все центры данной поверхности, является ее диаметральной плоскостью.

II. Точка принадлежащая всем диаметральным плоскостям (или хотя бы всем тем из них, которые сопряжены неасимптотическим направлениям), является центром поверхности.

В самом деле, точка есть середина проходящей через нее хорды любого неасимптотического на правления, а это означает (гл. XIX, § 5), что удовлетворены уравнения центра

III. Если для данного асимптотического направления существует сопряженная ему плоскость, то она параллельна направлению Обратно, если направление параллельно сопряженной ему плоскости, то это направление является асимптотическим.

В самом деле, непосредственным подсчетом проверяется, что

(7)

Условием параллельности вектора и диаметральной плоскости

является равенство

т. е. ; это равенство означает, что вектор имеет асимптотическое направление.

IV. Пусть вектор есть линейная комбинация торов т. е.

Если векторам сопряжены диаметральные плоскости и то плоскость является диаметральной плоскостью, сопряженной вектору .

Возьмем уравнения плоскостей, сопряженных соответственно направлениям . Коэффициенты этих уравнений обозначим соответственно через

причем из самого определения (6) этих коэффициентов следует, что

Геометрическое содержание полученного важного результата таково:

IV. Пусть векторам сопряжены плоскости Тогда всякому вектору , компланарному обоим векторам сопряжена плоскость , принадлежащая пучку плоскостей, определенному плоскостями .

Значит, если плоскости пересекаются, то плоскость проходит через прямую их пересечения, а если они параллельны, то и плоскость им параллельна.

4. Особые направления. Посмотрим, не может ли случиться, что для данного направления не существует сопряженной ему плоскости. Очевидно, это произойдет тогда и только тогда, когда в уравнении (5) все три коэффициента при переменных х, у, z обращаются в нуль. Тогда система однородных уравнений

определяет направление .

Определение. Направление называется особым, если оно удовлетворяет системе уравнений (8).

В главе XIX § 1, мы назвали малым рангом ранг квадратичной формы , т. е. ранг матрицы

Из определения особого направления непосредственно следует предложение: поверхность малого ранга имеет и не более линейно независимых особых направлений.

В частности, центральные поверхности (для них и, значит, вовсе не имеют особых направлений.

Умножая пераое из уравнений (8) на , второе на , третье на и складывая, получаем

всякое особое направление является асимптотическим. Итак, только в нецентральном случае и только асимптотическое направление может оказаться особым; для всех неособых направлений сопряженная плоскость существует и определена однозначно.

Посмотрим, какие имеются особые направления поверхностей различных типов. Параболоиды и центральные цилиндры (включая поверхности, распадающиеся в пару пересекающихся плоскостей) суть поверхности, для которых у них имеется единственное особое направление. Если эти поверхности даны своими каноническими уравнениями:

то их единственным особым направлением является направление т. е. направление оси . В этом сразу убеждаемся, написав для наших канонических уравнений уравнения (8), определяющие особые направления; это будут

В случае центральных цилиндров (и пары пересекающихся плоскостей) полученное направление есть направление прямой центров рассматриваемой поверхности.

Для эллиптического параболоида особое направление является и единственным вещественным асимптотическим направлением; то же справедливо и для эллиптического цилиндра Но во всех четырех случаях (эллиптических и гиперболических параболоидов и пилинд ров) единственное особое направление есть направление (вещественной) прямой пересечения тех двух плоскостей (вещественных или мнимых), на которые распался конус асимптотических направлений поверхности, а именно плоскостей:

Для поверхностей, у которых имеется два независимых особых направления; значит, особыми являются все направления параллельные некоторой плоскости. Так обстоит дело у параболического цилиндра

и у пары параллельных плоскостей

И в том и другом случае уравнения (8) превращаются в

им удовлетворяют все векторы , у которых какие угодно, т. е. все векторы, параллельные плоскости Так как конус асимптотических направлений параболического цилиндра вырождается в пару слившихся плоскостей , то все асимптотические направления параболического цилиндра являются особыми.

Легко доказывается следующее предложение.

V. Для того чтобы направление было особым, необходимо и достаточно, чтобы оно было параллельно всякой диаметральной плоскости.

В самом деле, пусть дана диаметральная плоскость

Сопряженная направлению , так что

Условие параллельности направления плоскости (5) есть

(9)

Подставляя в это равенство значения из (6), раскрывая скобки и по-новому группируя члены, переписываем равенство (9) в виде

Если направление особое, то выражения в скобках, являющиеся коэффициентами при в равенстве (10), равны нулю, и условие параллельности направления плоскости, сопряженной любому направлению выполнено. Первое утверждение теоремы V доказано.

Докажем второе утверждение. Итак, известно, что для данного направления и любого (неособого) направления - выполнено условие (10); требуется доказать, что направление особое.

Берем три некомпланарных пеасимптотических направления - такие существуют для всякой поверхности второго порядка в силу леммы § 5 главы XIX — и пишем для них уравнения (10);

Так как векторы не компланарны, то строки, а значит, и столбцы матрицы

линейно независимы.

Значит,

т. е. направление особое. Предложение V доказано.

Докажем в заключение этого параграфа следующее предложение. VI. Плоскости сопряженные относительно данной поверхности (1) двум различным направлениям тогда и только тогда параллельны между собою, когда плоскость , несущая оба направления параллельна (некоторому) особому направлению поверхности (1).

Доказательство. Обозначим коэффициенты при в уравнении плоскостей, сопряженных направлениям соответственно через соответственно запишем условие параллельности этих плоскостей в виде пропорции

или

Подставляя сюда значения

получаем после раскрытия скобок и перегруппировки членов равенства:

по-прежнему выражающие необходимое и достаточное условие параллельности (в широком смысле слова) плоскостей Но эти же равенства выражают условие, необходимое и достаточное для того, чтобы направление

очевидно, лежащее в плоскости , было особым, т. е. чтобы плоскость была параллельна некоторому особому направлению. Предложение VI доказано.