§ 3. Отображения или функции

Большая компания студентов (состоящая, положим, из всех студентов одного курса) отправилась кататься на лодках. Лодок хватило: каждый студент попал в какую-то лодку. Обозначим множество всех наших студентов через А, множество всех лодок через В.

Каждому элементу а множества А (т. е. каждому студенту) поставлен в соответствие определенный элемент множества В (та лодка в которой оказался студент а).

Мы говорим, что множество А отображено в множество В или что мы имеем функцию, аргумент которой пробегает множество А, а значения ее принадлежат множеству В. Для того чтобы показать, что данный элемент поставлен в соответствие элементу а, пишут и говорят, что есть образ элемента при данном отображении (или что b есть значение функции для значения а аргумента).

Множество тех элементов множества А, которым поставлен в соответствие данный элемент множества В, называется прообразом этого элемента b и обозначается через в нашем примере есть множество всех студентов, оказавшихся в данной лодке

Могут представиться следующие частные случаи.

1° Для каждого элемента множество не пусто, т. е. каждый элемент b множества В является образом хотя бы одного элемента а множества А; в применении к нашему примеру это значит, что в каждую лодку сел хотя бы один студент, т. е. что все лодки оказались разобранными.

В этом случае мы говорим, что имеем отображение множества А на множество В. Этот случай является наиболее важным. К нему легко приводится и общий случай отображения одного множества в другое. В самом деле, пусть дано какое-нибудь отображение множества А в множествр В; множество всех тех элементов множества В, которые в силу отображения поставлены в соответствие хотя бы одному элементу множества А, назовем образом множества А при отображении и обозначим через Очевидно, что отображение есть отображение множества А на множество

Это замечание дает нам возможность в дальнейшем ограничиться рассмотрением отображений одного множества на другое.

2° Если прообраз каждого элемента b множества В состоит лишь из одного элемента множества А, то отображение множества А на множество В взаимно однозначно.

В нашем примере имеем взаимно однозначное отображение множества А всех студентов на множество В всех лодок в том случае, когда в каждую лодку сел лишь один студент.

Взаимно однозначное отображение множества А на множество В автоматически производит также взаимно однозначное отображение множества В на множество А: ведь если каждое множество где — любой элемент В, состоит лишь из одного элемента а, то мы получаем отображение множества В на множество А, ставящее в соответствие каждому элементу b множества В элемент множества А.

Отображение называется обратным отображением к отображению

Итак, при взаимно однозначном отображении множества А на множество В происходит следующее: каждый элемент а множества А объединяется в пару с некоторым вполне определенным элементом и при этом оказывается, что каждый элемент b множества В находится в паре с единственным вполне определенным элементом а множества А. Ставя в соответствие каждому элементу b множества В находящийся с ним в паре элемент а множества А, мы получим взаимно однозначное отображение множества В на множество А, обратное к отображению .

Таким образом, при взаимно однозначном отображении одного множества на другое оба множества занимают равноправное положение (так как каждое взаимно однозначно отображается на Другое). Для того чтобы подчеркнуть это равноправие, часто говорят о взаимно однозначном соответствии между двумя множествами, разумея под этим совокупность обоих взаимно однозначных и взаимно обратных отображений каждого множества на другое.

Отображения множества в себя и на себя. Преобразование множества. Когда мы определяли отображение какого-нибудь множества А на какое-нибудь множество В, то могло, в частности, случиться, что множество В является собственным или несобственным подмножеством множества А. Например, пусть А есть множество всех точек плоскости , а всех точек прямой d, лежащей на плоскости .

Пусть М — произвольная точка нашей плоскости. Обозначим через проекцию точки М на прямую d, т. е. основание перпендикуляра, опущенного на прямую d из точки Ставя в соответствие каждой точке А! плоскости точку получаем отображение множества А на множество .

Всякое отображение множества А на собственное или несобственное подмножество В множества А называется отображением множества А в если при этом то имеем отображение множества А на себя.

Взаимно однозначное отображение множества А на себя называется преобразованием множества А. Преобразования множеств имеют в геометрии очень большое значение, и им уделяется в этих лекциях большое внимание. Примером преобразования (прямой, плоскости или пространства) может служить преобразование симметрии относительно данной точки О, т. е. взаимно однозначное отображение (прямой, плоскости пли пространства) на себя, состоящее в том, что каждой точке М ставится в соответствие точка М, симметричная точке М относительно центра симметрии О.

Примером преобразования плоскости является также симметрия (или отражение) относительно данной прямой d, лежащей в этой ппоскости. Это преобразование состоит в том, что каждой точка М плоскости ставится в соответствие точка М, симметричная точке относительно прямой, т. е. точка М, лежащая на перпендикуляре, опущенном из точки М на прямую d, на том же расстоянии от этой прямой, что и точка М, но по другую сторону от прямой

Аналогично определяется и преобразование пространства, называемое симметрией относительно данной плоскости. В дальнейшем мы узнаем много других преобразований плоскости и пространства.

Для конечных множеств понятие преобразования совпадает с ранее введенным понятием перестановки.

Мы видели, что для перестановок, т. е. преобразований конечных множеств, естественно определяется действие перемножения, которое будем также называть композицией - произведение (композиция) двух преобразований и g данного множества X, заданных в данном порядке — сначала потом g, — есть преобразование множества X, получающееся, если сделать сначала преобразование а потом преобразование g. Более подробно: преобразование ставит в соответствие каждому элементу множества X элемент того же множества; преобразование g ставит в соответствие каждому элементу множества X элемент множества X, в частности, элементу элемент преобразование h (являющееся произведением преобразований и g) ставит в соответствие каждому элементу множества X элемент того же множества X. Поэтому мы и пишем:

Это определение произведения, или композиции, двух отображений без всяких изменений пригодно и для любых двух отображений множества X в себя (без требования взаимной однозначности). Если, как это принято, например, в анализе, называть отображения функциями, то композиция двух отображений и g есть не что иное, как сложная функция Например, каждая из функций определенных, скажем, на положительной полупрямой, осуществляет отображение этой полупрямой в себя. Композиция этих отображений есть сложная функция

Этот пример, в частности, показывает, почему, наряду с общепринятым в геометрии термином произведения двух преобразований, вообще, двух отображений какого-либо множества в себя, удобно иметь еще и другой термин, например, композиции двух отображений: при переходе к функциям, рассматриваемым в анализе, мы таким образом избегаем конфликтов с общепринятой терминологией (неудобно было бы сложную функцию называть произведением функций .

Из приведенного примера видно также, что композиция (перемножение) двух отображений, вообще говоря, зависит от порядка, в котором берутся эти отображения:

отнюдь не одио и то же. Впрочем, мы видели на примере перестановок, т. е. преобразований конечных множеств, что даже в этом простейшем случае перемножение преобразований не коммутативно.

Определенное нами перемножение (композиция) преобразований удовлетворяет свойству ассоциативности: для любых трех преобразований множества выполнено условие самом деле, полагая , имеем при любом выборе элемента

Наконец, заметим, что среди преобразований множества имеется так называемое тождественное преобразование , ставящее в соответствие каждому элементу множества X этот самый элемент (говорят, что тождественное преобразование оставляет неподвижными все элементы множества X). Легко видеть, что тождественное преобразование множества X есть единственное преобразование этого множества, произведение которого на любое преобразование совпадает с преобразованием для любого . Наконец, мы видели, что для каждого преобразования множества X определено обратное преобразование Оно вполне определено каждым из условий означающих соответственно, что при любом