§ 8. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения

1. Распадающиеся линии и поверхности. Если многочлен есть произведение двух многочленов и

то те и только те точки лежат на линии

которые лежат хотя бы на одной из двух линий

В этом случае говорят, что кривая (1) распадается на кривые и ().

Например, кривая второго порядка, заданная уравнением

распадается на пару действительных прямых

а кривая

как упомянуто выше, распадается на пару мнимых прямых

называемых сопряженными.

То же имеет место и для поверхностей. Если

то поверхность

распадается на пару поверхностей

Так, например, поверхность второго порядка

распадается на пару плоскостей

2. Цилиндрические поверхности. Определение. Алгебраическая поверхность называется цилиндрической (или цилиндром), если в некоторой аффинной системе координат она может быть задана уравнением, не содержащим одну из координат, например уравнением

не содержащим координату .

Кривая, определяемая уравнением (3) в плоскости называется иногда основанием или направляющей цилиндра.

Если точка лежит на цилиндре (3) (рис. 155), то все точки , где z совершенно произвольно, тоже лежат на цилиндре (3), Все эти точки образуют прямую, проведенную через одну из них, например через точку , параллельно оси Таким образом, всякая прямая, проведенная параллельно оси через какую-нибудь точку цилиндра, всеми своими точками лежит на цилиндре; все эти прямые называются образующими цилиндра. Их объединение и образует множество всех точек, лежащих на цилиндре.

Обратно, пусть дана алгебраическая поверхность S, обладающая тем свойством, что всякая прямая, параллельная некоторому (одному и тому же) направлению и проходящая через какую-нибудь точку этой поверхности, всеми своими точками лежит на ней.

Покажем, что эта поверхность является цилиндрической. В самом деле, не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что направление, о котором идет речь, есть направление оси z некоторой системы координат.

Пусть уравнение поверхности S есть Всякий многочлен от трех переменных может быть записан в виде

где . Докажем, что в нашем случае .

Рис. 155.

В противном случае пусть существуют такие значения что Тогда

и существует лишь конечное число значений z, для которых Пусть — одно из них. Тогда точка лежит на поверхности S, но прямая

проходящая через эту точку в направлении оси z, уже не лежит целиком на поверхности - вопреки нашим предположениям. Итак, действительно уравнение поверхности S имеет вид

чем и доказано, что - цилиндрическая поверхность.

Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь цилиндрические поверхности второго порядка; их основаниями являются кривые второго порядка.

3. Конические поверхности. Определение. Конической поверхностью порядка называется алгебраическая поверхность, задаваемая в некоторой аффинной системе координат Oxyz уравнением

где есть однородный многочлен (форма степени от переменных ).

Рис. 156.

Легко доказывается следующее основное свойство конических поверхностей:

(*) Если точка лежит на конической поверхности (4) (рис. 156), то и вся прямая ОМ лежит на этой поверхности (О при этом есть начало координат).

В самом деле, если точка — какая-нибудь точка

прямой ОМ, то для вектора ОМ имеем равенство при некотором числовом множителе . А это значит, что . Так как однородный многочлен степени, то , так как точка лежит на поверхности (4), то значит, и т. е. точка М также лежит на поверхности (4).

Итак, всякая коническая лость слагается целиком из прямых, проходящих через точку О.

Замечание. Имеет место и обратное предложение, которое сообщаем без доказательства: всякая алгебраическая поверхность, обладающая свойством есть поверхность коническая.

Для поверхностей второго порядка это утверждение можно вывести из результатов главы XIX, § 5.

Сопоставим только что данное общее определение конической поверхности с элементарным «построением конуса над данной плоской кривой». Речь идет о следующем построении. Пусть дана кривая К, лежащая в некоторой плоскости , и точка О, лежащая вне этой плоскости (рис. 157).

Рис. 157.

Проведем через точку О и каждую точку М кривой К прямую ОМ. Совокупность всех этих прямых заполняет некоторую поверхность S, которую обыкновенно и называют конусом с вершиной О и направляющей К или конусом, построенным над кривой К. В соответствии с этим множество всех точек конической поверхности второго порядка

есть конус с вершиной , построенный над эллипсом

лежащим в плоскости (рис. 158) и являющимся сечением поверхности (5) и плоскости

Сечением конической поверхности (5) с плоскостью (рис. 159) является гипербола

Однако конус с вершиной в начале координат О, построенный над этой гиперболой, уже не совпадает с множеством всех точек поверхности (5);

Чтобы получить это множество, надо к конусу, построенному над гиперболой, присоединить еще все точки двух прямых

лежащих в плоскости и входящих в состав поверхности (5).

Итак, если взять какое-нибудь сечение К конической поверхности (5) плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, то конус S с вершиной О, построенный над кривой К, может не заполнить множества всех вещественных точек, лежащих на поверхности (5); придется присоединить еще точки этой поверхности, лежащие на соответствующей координатной плоскости.

Рис. 158.

Рис. 159.

Лишь в главе XXII, при переходе к проективной точке зрения, нам удастся, по крайней мере в случае кривых К второго порядка, пополнить кривую К ее бесконечно удаленными точками и этим восстановить утраченную гармонию: множество всех вещественных точек конуса совпадет тогда с конусом, построенным над любым плоским сечением поверхности (5), являющимся невырожденной вещественной кривой второго порядка.

После рассмотрения примера (5) вернемся к общему случаю конуса 5 с вершиной О, построенного над любой алгебраической кривой К, лежащей в данной плоскости , не содержащей точку О (рис. 160). Возьмем систему координат с началом О и единичными векторами параллельными плоскости ; вектор определим как какой-нибудь вектор , конец которого лежит в плоскости .

Таким образом, в этой плоскости определена координатная система а сама плоскость в системе имеет уравнение . Пусть кривая К, лежащая в плоскости , имеет в координатной системе уравнение

степени», Пусть какая-нибудь точка поверхности S. Тогда прямая ОМ пересекает плоскость я в точке координаты которой удовлетворяют равенству

Вектор является направляющим вектором прямой ОМ, следовательно, ее параметрическое уравнение имеет вид

Так как лежащая на прямой (8) точка есть произвольная точка поверхности S, то мы доказали следующее предложение: для того чтобы точка лежала на поверхности S, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли при некотором t уравнениям (8), где удовлетворяют уравнению (6).

Рис. 160.

Подставляя в (7) значения

из (8), переписываем уравнение (7) в виде

Именно этому уравнению удовлетворяют все (отличные от точки О) точки поверхности S. Многочлен есть многочлен степени относительно — значит, многочлен

есть однородный многочлен относительно х, у, z.

Среди точек , не лежащих в плоскости уравнению

удовлетворяют все точки поверхности S и только они. Само уравнение (4) определяет коническую поверхность порядка , множество точек которой получается присоединением к поверхности S точек, лежащих в плоскости и удовлетворяющих уравнению

4. Поверхности вращения. Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат .

Рассмотрим многочлен от двух переменных, одно из которых, а именно и, есть так что

Очевидно, выражение тождественно равно некоторой сумме одночленов от трех переменных , т. е. некоторому многочлену от этих переменных.

Рис. 161.

Если потребовать, чтобы многочлен был при этом второй степени, то в выражение аргумент может входить только в первой степени, a z может входить во второй и в первой степени. Итак, общий вид многочлена второй степени допускающего запись есть

Но вернемся к общему случаю многочлена любой степени, допускающего запись вида и рассмотрим алгебраическую поверхность S, задаваемую уравнением

Пусть точка лежит на поверхности (9). В плоскости проходящей через точку параллельно плоскости (рис. 161), возьмем окружность у с центром проходящую через точку . Радиус этой окружности, очевидно, есть а ее уравнение

Так как точка лежит на поверхности (9), то так как во всех точках окружности имеем то все эти точки лежат на поверхности (9). Итак, если данная точка лежит на поверхности (9), то на той же поверхности лежат и все точки М, в которые попадает точка при вращении пространства вокруг оси z. Поэтому поверхности, уравнения которых при надлежащем выборе прямоугольной системы координат могут быть записаны в виде (9), называются поверхностями вращения. В частности, уравнение поверхности второго порядка, являющейся поверхностью вращения, записывается в виде

Линия, получающаяся при пересечении поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения (в нашем случае через ось z), называется меридианом этой поверхности вращения.

Например, меридианом поверхности вращения

является сечение этой поверхности с плоскостью т. е. линия

Поверхность вращения описывается при вращении линии, являющейся ее меридианом, около оси вращения.

Рассмотрим, например, коническую поверхность

Ее меридианом, лежащим в плоскости является пара прямых

конус (10) описывается при вращении этой пары прямых вокруг оси z (рис. 162).

Рис. 162.

Рис. 163.

Рис. 164.

Рис. 165.

Рис. 166.

Рис. 167.

Рассмотрим в качестве второго примера поверхность, задаваемую уравнением

(система координат все время прямоугольная). Это снова поверхность второго порядка, являющаяся поверхностью вращения. Она получается вращением около оси z параболы

вид полученной поверхности вращения совершенно ясен, эта поверхность изображена на рис. 163; она называется параболоидом вращения. Поверхности, заданные уравнениями

соответственно

получаются, как легко проверит читатель, при вращении вокруг оси z равнобочной гиперболы, лежащей в плоскости и имеющей ось z соответственно своей второй и первой осью (рис. 164, рис. 165).

Читатель сам напншет уравнения поверхностей, получающихся от вращения эллипса вокруг его осей (рис. 166, рис. 167).