§ 7. Преобразования подобия

1. Определение преобразования подобия. Непосредственным обобщением движений являются преобразования подобия. Преобразование А называется преобразованием подобия, если для этого преобразования существует такое положительное число подобия», что каковы бы были две точки , всегда

При этом, как всегда, через М обозначаем образ точки М. Если , то получаем изометрические преобразования, т. е. движения, являющиеся, таким образом, частным случаем преобразований подобия.

Замечание 1. Легко видеть, что преобразования подобия образуют группу — подгруппу в группе всех преобразований (плоскости, соответственно пространства).

2. Равномерное растяжение (гомотетия). Сначала рассмотрим простейшие преобразования подобия, так называемые равномерные растяжения, или гомотетические преобразования (гомотетии). Растяжением пространства (плоскости) с центром О и коэффициентом растяжения k называется преобразование А, состоящее в следующем:

V Точка О остается неподвижной.

2 Всякая точка переходит в точку М, лежащую на луче ОМ и определяемую на нем условием ОМ .

Таким образом, название «растяжение» соответствует наглядной картине преобразования лишь при наше «растяжение» в действительности оказывается сжатием.

Замечание 2. Так как векторы и ОМ лежат на одной и той же полупрямой, исходящей из точки О, то они имеют одно и то же направление. Поэтому из равенства следует и .

Докажем, что всякое растяжение является преобразованием подобия. В самом деле, пусть при растяжении с центром О и коэффициентом к точки переходят соответственно в точки и М, (рис. 150). Тогда . Треугольники подобны, и, значит, , что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что растяжение с центром О и коэффициентом k есть аффинное преобразование. Можно ограничиться случаем плоскости.

Возьмем произвольный координатный репер с началом в центре данного растяжения (рис. 151). Пусть - произвольная точка плоскости, — ее образ при данном растяжении (координаты относительно репера ). Тогда имеем равенство , эквивалентное системе равенств

доказывающей наше утверждение.

Обратно, если в какой-нибудь аффинной координатной системе . Преобразование А записывается в виде (2), то оно есть растяжение с центром О и коэффициентом растяжения k. В самом деле, преобразование - А, оставляя точку О на месте, переводит всякий вектор в вектор , откуда и следует утверждение.

Рис. 150.

Рис. 151.

Итак, растяжение плоскости с центром О и коэффициентом k может быть определено как аффинное преобразование, которое в , и тогда непременно во всякой, аффинной системе координат с началом О записывается в виде (2).

Замечание 3. Мы всегда в качестве исходной системы координат можем выбрать прямоугольную систему.

Совершенно аналогичный результат имеет место и для пространства.

Замечание 4. Все растяжения с данным центром образуют группу — подгруппу группы аффинных преобразований (плоскости, соответственно пространства).

3. Представление преобразования подобия в виде произведения растяжения и движения. Из сказанного до сих пор еще не ясно, является ли всякое преобразование подобия аффинным преобразованием. Положительный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме, которая и представляет собою основной результат этого параграфа.

Теорема 11. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k есть аффинное преобразование, а именно произведение растяжения с тем же коэффициентом k и произвольным центром О на некоторое собственное или несобственное движение A.

Доказательство. Пусть Q есть растяжение с произвольным центром О и коэффициентом - L. При преобразовании длина каждого отрезка умножается на k, а при преобразовании Q она умножается на поэтому, если сделать сначала преобразование Q, а потом преобразование то получим преобразование при котором длина каждого отрезка остается неизменной. Другими словами, преобразование есть изометрическое преобразование, т. е. движение, собственное или несобственное.

Преобразование , обратное к преобразованию Q, есть, очевидно, растяжение с центром О и коэффициентом .

Сделаем теперь сначала преобразование , а затем преобразование А, т. е. рассмотрим произведение этих преобразований; получим . Итак, наше преобразование представлено в виде произведения преобразования , т. е. растяжения с коэффициентом k и произвольным центром О, на движение А. Так как и , и А суть аффинные преобразования, то аффинным преобразованием является и их произведение . Теорема доказана.

Как всякое аффинное преобразование, преобразование подобия может быть собственным или несобственным. Так как в представлении

преобразование (растяженне) собственное, то движение А будет собственным или несобственным в зависимости от того, будет ли собственным или несобственным данное преобразование подобия .