§ 5. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая характеристика асимптотических и неасимптотических направлений

Пусть дана кривая

и прямая

имеющая асимптотическое направление по отношению к кривой (1). Это значит, что

Уравнение (3) предыдущего параграфа, определяющее точки пересечения прямой (2) с кривой (1), превращается в

Возможны следующие случаи (известные нам уже из § 1).

Случай I. тогда уравнение (3) определяет одну - единственную точку пересечения прямой (2) с кривой (1).

Случай II. прямая (2), не имея с кривой (1) ни одной точки пересечения, является асимптотой этой кривой.

Случай III. уравнение (3) есть тождество каждая точка прямой (2) лежит на кривой (1). Эта кривая распадается на пару прямых, одной из которых является прямая (2).

Итак, прямая, имеющая по отношению к данной кривой второго порядка асимптотическое направление, либо целиком состоит из точек, лежащих на данной кривой, либо содержит не более одной такой точки. Если же прямая имеет неасимптотическое направление, то она пересекает кривую в двух вещественных (или мнимых сопряженных) точках, которые, однако, могут сливаться в одну точку — точку касания.

Но пара слившихся точек геометрически ничем не отличается от одной точки, поэтому пока мы еще не умеем охарактеризовать асимптотические (соответственно неасимптотические) направления геометрически, не прибегая к уравнению кривой. Такая характеристика дается следующим предложением:

Теорема 6. Пусть — кривая второго порядка, не являющаяся парой слившихся прямых, и есть направление, неасимптотическое по отношению к кривой (1). Тогда существует прямая направления пересекающая кривую в двух различных точках P и Q. При этом, если кривая содержит более одной действительной точки (т. е. не является мнимым эллипсом или парой мнимых сопряженных прямых) и направление действительно, то действительны и точки

Доказательство. Через каждую точку кривой (1) проведем прямую

иеасимптотического направления

Требуется доказать, что среди прямых (2), проведенных через всевозможные точки кривой (1), имеется по крайней мере одна прямая, не являющаяся касательной к кривой (1) в точке Но если прямая (2) есть касательная к кривой в точке то, как мы знаем из предыдущего параграфа, должно быть

Если это верно для каждой точки лежащей на кривой (1), то все эти точки должны удовлетворять соотношению

В этом равенстве коэффициенты при не могут быть одновременно равны нулю; в самом деле, умножая обе части равенств

соответственно на и складывая мы бы получили

что означает, что направление вопреки нашим предположениям, является асимптотическим. Итак, равенство (40) есть уравнение первой степени относительно которому удовлетворяют все точки кривой (1); другими словами, все точки этой кривой должны лежать на прямой

Но среди кривых второго порядка лишь кривая, являющаяся парой слившихся прямых, обладает тем свойством, что все лежащие на ней точки принадлежат одной прямой; поэтому кривая (1), обладающая этим свойством, есть пара слившихся прямых, каждая из которых задана уравнением случай, который мы исключили.

Итак, существует точка кривой (1), обладающая тем свойством, что проходящая через нес прямая d неасимптотического направления не является касательной; значит, эта прямая пересекает кривую (1) в двух различных точках

Если кривая содержит более одной и, следовательно, бесконечное множество действительных точек и действительное неасимиптотическое направление, то, повторяя наше рассуждение лишь для действительных точек кривой видим, что найдется прямая, имеющая направление проходящая через действительную точку кривой и пересекающая ее в двух различных точках. Но если точка действительная, то действительной должна быть и вторая точка пересечения Теорема доказана.

Замечание. Среди прямых асимптотического направления асимптоты кривой характеризуются тем, что в уравнении (3) § 4 имеем но Следовательно, если прямая (2) есть асимптота кривой (1), то, во-первых, ее направляющий вектор имеет асимптотическое направление (так что ) а, во-вторых, для любой ее точки выполнено тождество

— уравнение асимптоты есть уравнение

где вектор имеет асимптотическое направление. Уравнение (4) может быть переписано в виде

Читатель легко проверит, что в случае гиперболы (заданной каноническим уравнением) мы получаем наши старые уравнения асимптот.