§ 10. Второе доказательство теоремы единственности. О полноте системы ортогональных инвариантов

1. Второе доказательство теоремы единственности. Речь идет о теореме 5, сформулированной и доказанной в § 2. Преимущество предлагаемого второго доказательства заключается в том, что оно легко может быть перенесено на случай поверхностей (и даже на случай (-мерных поверхностей второго порядка в -мерном пространстве).

Обозначим через С множество точек, лежащих на кривой

т. е. множество всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению (1). Предположим, что множество С совпадает с множеством всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению

Вспомним, что неасимптотические направления по отношению к кривой (1) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (1) и (1), будет неасимптотическим и для другой кривой.

Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направление для кривых (1) и (1).

Одну из прямых d направления примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению — за ось абсцисс координатной системы . Из результатов предыдущего параграфа следует, что уравнения (1), получат в системе координат вид

Здесь в противном случае единичный вектор оси у, удовлетворяющий уравнению

имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление.

Пересечение множества С с осью обозначим через

Возможны следующие случаи:

1° Множество пусто (рис. 187).

Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из равенств

противоречиво, т. е. когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов тождественно равен отличной от нуля постоянной соответственно .

Рис. 187.

Рис. 188.

2° Множество совпадает со всей прямой (рис. 188). Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов тождественно равен нулю.

3° Ни одни из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество состоит или из одной точки (рис. 189), или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек (рис. 190), являющихся парой корней как уравнения

так и уравнения

Рассмотрим ближе этот случай.

Так как уравнения (3) и имеют одни и те же корни, то при некотором имеем

Рис. 189.

и, значит, полагая имеем

Докажем, что . Для этого дадим переменному значение являющееся корнем уравнения

Рис. 190.

и найдем значения у, удовлетворяющие уравнению

т. е.

Значит, точка принадлежит множеству С; следовательно,

т. е. , значит, и

Итак, в случае 3° теорема доказана.

В случае 2° имеем

Полагая — получим - утверждение теоремы верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (2) и (2) принимают вид

— множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было т. е. при .

Теорема 5 доказана во всех случаях.

2. О полноте системы ортогональных инвариантов. Теорема единственности позволяет существенно дополнить высказанные нами в § 6 главы XVI соображения о возможности характеризовать метрическую эквивалентность (т. е. эквивалентность по отношению к группе движений) двух кривых второго порядка, не распадающихся на пару параллельных прямых.

Будем рассматривать на плоскости лишь прямоугольные системы координат с одним и тем же масштабом. Имеет место следующая основная

Теорема 9. Пусть на плоскости даны две нераспадающиеся на пары параллельных прямых кривые второго порядка С и , имеющие в некоторой прямоугольной системе координат соответственно уравнения:

и

Для того чтобы кривые С и были метрически эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы после домножения одного из двух многочленов на некоторый числовой множитель k оба эти многочлена имели соответственно одни и те же инварианты .

Доказательство. Необходимость. Если кривые С и метрически эквивалентны, то посредством некоторого движения, т. е. ортогонального преобразования плоскости, кривая С может быть преобразована в кривую С. При этом преобразовании инварианты многочлена (будучи ортогональными инвариантами) не изменятся, а сам многочлен перейдет в многочлен , имеющий то же нулевое многообразие, что и многочлен , так что, в силу теоремы единственности, , при некотором

Итак, инварианты многочлена совпадают с соответствующими инвариантами многочлена — первая часть теоремы 9 доказана.

Переходим к доказательству второй части.

Достаточность. Если многочлены имеют одни и те же инварианты , то из сказанного в § 6 главы XVI следует, что кривые метрически эквивалентны. Но кривая , очевидно, совпадает с кривой чем эквивалентность кривых доказана.

Полученный результат иногда формулируют так:

Ортогональные инварианты образуют полную систему ортогональных инвариантов кривых второго порядка, не распадающихся на пару параллельных прямых.