§ 4. Действия над матрицами в общем случае

Соберем еще раз вместе (не боясь повторений) те общие сведения о матрицах, которые были изложены в этой главе, и несколько дополним их.

Для квадратных матриц любого данного порядка было определено действие умножения.

то

где

и

Как читатель может проверить фактическим вычислением, это умножение ассоциативно, т. е. для любых трех матриц P, Q, R имеем .

С другой стороны, умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, однако имеет место равенство

откуда следует, что произведение двух невырождающихся матриц (порядка ) есть невырождающаяся матрица (порядка ).

Среди невырождающихся матриц порядка имеется единичная

она удовлетворяет равенству

для любой матрицы А (порядка ).

Для каждой невырождающейся квадратной матрицы А порядка однозначно определена обратная матрица элементы суть

где есть адъюнкта элемента в матрице А.

Обратная матрица удовлетворяет условию

(в чем убеждаемся непосредственной проверкой вычислением).

Из сказанного следует, что невырождающиеся матрицы порядка образуют группу (по отношению к операции , отсюда в свою очередь вытекает, что единичная матрица Е порядка , равно как и обратная матрица к данной, однозначно определяется равенствами (4) и соответственно каждым из равенств (6).

Непосредственно проверяется (для любых двух матриц А, В) порядка равенство

где, как всегда, звездочкой обозначается переход к транспонированной матрице.

Далее, из ассоциативности умножения следует (для любых двух невырождающихся матриц А, В порядка ):

что означает, что матрица есть матрица, обратная к АВ:

— равенство, принадлежащее к простейшим предложениям теории групп.

Обозначим через число, равное 1, если , и равное нулю, если .

Назовем квадратную матрицу А ортогональной, если

т. е. если выполнено любое , следовательно, оба) из двух эквивалентных условий:

и

из которых первое означает, что , а второе — что .

Задача. Доказать, что в группе всех невырождающихся матриц данного порядка ортогональные матрицы образуют подгруппу.

Указание. Так как единичная матрица порядка очевидно ортогональна, то достаточно доказать, что произведение АВ двух ортогональных матриц и матрица , обратная к ортогональной, ортогональны. Второе утверждение сразу следует из равенства (для ортогональной матрицы А), первое — из

Квадратные матрицы являются частным случаем прямоугольных (гл. VII, § 6).

Прямоугольная матрица, имеющая строк и столбцов, кратко называется матрицей вида

Для любых прямоугольных матриц произведение не определенно. Однако в случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

произведение АВ при любых и q определяется дословно, как и для квадратных матриц:

где

для любых .

В частности, заметим, что если матрица А состоит из одной строки

а матрица - из одного столбца

то

есть число (матрица первого порядка).

Любую прямоугольную матрицу

можно умножить на любое число X: по определению

Кроме того, любые две прямоугольные матрицы одного и того же вида можно почленно сложить по правилу:

Это сложение, очевидно, ассоциативно и коммутативно. Матрица вида , состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей О. Очевидно, это есть единственная матрица, удовлетворяющая равенству

для любой матрицы А вида

Наконец, положим

для любой матрицы А. Из этих определений следует, что матрицы данного вида образуют коммутативную группу по отношению к операции сложения.