§ 4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы

Начнем со следующей простой леммы.

Пусть . Всякая -мерная плоскость в -мерном аффинном пространстве содержится в некоторой -мерной плоскости.

В самом деле, возьмем в какую-нибудь линейно независимую систему, состоящую из векторов их, . Так как , то эта система может быть дополнена до линейно независимой системы, состоящей из векторов ) . Эти векторы порождают -мерное подпространство векторного пространства всех векторов, лежащих в . Произвольная точка А и векторное многообразие определяют -мерную плоскость , очевидно, содержащую плоскость .

Пусть в пространстве дано множество, состоящее из конечного числа, , точек

Рассмотрим всевозможные векторы , ведущие из любой из этих точек в любую другую. Подпространство, порожденное всеми этими векторами (в пространстве всех вообще векторов, лежащих в ), обозначим через , его размерность — через . Так как

то все векторы линейно выражаются через векторы, ведущие из одной какой-нибудь фиксированной точки (1), например из точки , во все остальные, так что множество, состоящее из векторов

является системой образующих пространства , максимальное число линейно независимых среди них равно размерности всего пространства , и, значит,

Нумерацию точек (1) выберем так, чтобы первые среди векторов , т. е.

составляли линейно независимую систему. Тогда -мерная плоскость , натянутая на точку и векторы (3), содержа все векторы (2), содержит и все концы этих векторов, т. е. все точки (1).

Не существует плоскости размерности , которая содержала бы все точки (1), так как тогда в этой плоскости лежали бы и все векторы (3), что противоречит их линейной независимости. Всякая плоскость, содержащая все точки (1), содержит как точку так и векторы (3), значит, содержит и плоскость , натянутую на них. Итак, доказано следующее предложение:

Пусть дано конечное множество точек

пространства . Тогда определено наименьшее число , являющееся размерностью плоскости пространства , содержащей все эти точки (1); это число (которое можно было бы назвать «мерой независимости» точек ) равно наибольшему числу линейно независимых среди векторов, ведущих из какой-нибудь определенной точки системы (1) (например, из точки ) во все остальные точки этой системы. При этом имеется одна - единственная -мерная плоскость, содержащая все точки (1), и эта -мерная плоскость называется плоскостью, натянутой на точки .

Дополним этот результат следующим определением:

Если , т. е. если мера независимости точек имеет наибольшее возможное значение , то точки называются геометрически, независимыми (или просто независимыми) между собою в пространстве .

Из предыдущего следует:

Точки тогда и только тогда геометрически независимы, когда векторы линейно независимы, или, что то же, когда точки (1) (векторы ) не лежат ни в какой плоскости размерности .

Во всякой -мерной плоскости пространства можно (бесконечным числом различных способов) выбрать независимую систему из точек; всякая независимая система из точек -мерного аффинного пространства содержится в единственной -мерной плоскости этого пространства.

Рассмотрим в пространстве независимую систему из точек, заданных своими координатами (в какой-нибудь системе координат пространства ):

Единственную -мерную плоскость, содержащую эти точки, обозначим через .

Положим

Тогда

Плоскость натянута на точку и векторы , поэтому координаты любой точки плоскости однозначно записываются в виде

Давая параметрам всевозможные действительные значения, получим из уравнений (5) всевозможные точки плоскости и только точки этой плоскости.

Положим

Тогда система равенств (5) переходит в систему равенств

что мы кратко переписываем в виде одного равенства .

— точка М есть взвешенная сумма точек , взятых соответственно с весами , кг Веса , в равенстве (6) пробегают всевозможные действительные значения, связанные единственным соотношением

т. е.

Для каждой точки единственным образом определяются удовлетворяющие условию (7) числа - веса точки М во взвешенной сумме (6).

Обратно, всякий набор чисел , удовлетворяющих условию (7), однозначно определяет по формулам (6) или (6) точку если дана независимая система точек .

Коэффициенты в представлении (6) или (6) называются барицентрическими координатами точки М относительно системы точек в -мерной плоскости , определенной этими точками.

Множество точек все барицентрические координаты которых (относительно системы ) положительны называется -мерным открытым симплексом с вершинами точки, барицентрические координаты которых относительно той же системы неотрицательны, образуют, по определению, замкнутый симплекс с вершинами .

Очевидно, замкнутый симплекс содержит в себе открытый симплекс с теми же вершинами.

Мы уже видели, что одномерный симплекс с вершинами есть просто отрезок (открытый, соответственно

Легко доказать, что двумерный симплекс с вершинами есть просто открытый треугольник (т. е. множество всех внутренних точек этого треугольника).

В самом деле, всякая внутренняя точка М треугольника есть внутренняя точка единственного отрезка вида , где М есть (внутренняя) точка отрезка (рис. 154).

Поэтому

Подставляя в (8'), получим

т. е.

где

Рис. 154.

При этом все числа положительны и

Обратно, пусть , причем Можно написать

где

значит,

Точка есть внутренняя точка отрезка , где , так что М есть внутренняя точка отрезка , т. е. внутренняя точка треугольника .

Читателю предоставляется самому убедиться (основываясь на только что доказанном и продолжая рассуждать аналогичным образом), что трехмерный открытый симплекс с вершинами есть (открытый) тетраэдр .

Замечание. Множество X точек -мерного пространства называется выпуклым, если, каковы бы ни были две точки Р и Q этого множества, оно содержит и все точки отрезка .

Все пространство , а также всякая лежащая в нем плоскость, является выпуклым множеством. Выпуклым множеством является также и симплекс любого числа измерений (как открытый, так и замкнутый), а также любой параллелепипед (пусть читатель докажет все эти утверждения). Выпуклым является также как пустое множество, так и всякое одноточечное множество, т. е. множество, состоящее лишь из одной точки. Имея в виду последнее утверждение, читатель легко докажет важную теорему: пересечение любой (конечной или бесконечной) совокупности выпуклых множеств, лежащих в данном , есть выпуклое множество. Всякое множество X, лежащее в , содержится в некотором выпуклом множестве (за которое можно взять, например, все пространство ). Поэтому можно говорить о (непустой) совокупности всех выпуклых множеств , содержащих данное произвольное множество .

Следовательно, определено и выпуклое множество X, являющееся пересечением всех выпуклых множеств Z, содержащих данное множество X. Множество X называется «выпуклым замыканием» (или выпуклой оболочкой) множества X. Оно является наименьшим выпуклым множеством, лежащим в данном и содержащим данное множество X.

Последнее утверждение имеет следующий смысл: каково бы ни было выпуклое множество Y, содержащее множество X, множество Y содержит и X. Полезным упражнением для читателя было бы доказательство следующей важной теоремы. Пусть -конечное множество точек , образующих в геометрически независимую систему. Тогда выпуклое замыкание X множества X есть замкнутый симплекс с вершинами