§ 3. Аналитическое выражение аффинных преобразований

Пусть аффинное преобразование плоскости задается переходом от репера к реперу .

Покажем, как вычислить в исходной системе координат координаты преобразованной точки М по координатам данной точки М (рис. 147).

Векторы , даны своими координатами относительно старого репера:

Кроме того, известны координаты а, b нового начала О. Тогда координаты х, у любой точки М относительно старого репера связаны с координатами той же точки М относительно нового репера соотношениями

Нам даны: произвольная точка М с координатами х и у относительно старого репера и ее образ М, имеющий относительно нового репера те же координаты х, у, которые точка М имела относительно старого репера. Требуется найти координаты точки М относительно старого репера. Решение этой задачи дается формулами (2), в которые вместо надо подставить координаты точки М в новой системе, т. е. х и у; тогда в левой части будут искомые координаты точки М (в старой системе), и мы получим

Это и есть формулы, дающие координаты преобразованной точки М по координатам точки М (те и другие координаты берутся при этом относительно одного и того же «старого» репера).

Обратно, если дана невырождающаяся матрица

Рис. 147.

И два числа , то, ставя в соответствие каждой точке точку где и определены по формулам (3), мы получим аффинное преобразование плоскости — оно определено переходом от исходного репера к реперу , где

Итак, мы можем определить аффинное преобразование плоскости как такое преобразование, которое ставит в соответствие каждой точке точку координаты , у которой находятся из координат , у точки М по формулам (3); система координат — одна и та же. Аффинное преобразование вполне определяется системой координат , матрицей коэффициентов С и числами а, b в формулах (3).

Так же доказывается и аналогичный результат для пространства:

Аффинное преобразование пространства вполне определено, если в пространстве даны аффинная система координат , невырождающаяся матрица

называемая матрицей аффинного преобразования, и три числа ; определенное этими данными преобразование состоит в том, что каждой точке ставится в соответствие точка , где

Система координат — одна и та же.

Замечание 1. Матрица аффинного преобразования, очевидно, является транспонированной к матрице перехода от исходного репера к реперу, задающему данное аффинное преобразование. Поэтому аффинное преобразование будет собственным или несобственным в зависимости от того, имеет ли матрица этого преобразования положительный или отрицательный детерминант.

Среди всех вообще аффинных преобразований их частный случай — движения выделяются тем, что и первоначальный исходный репер (соответственно ), и новый репер (соответственно ) предполагаются прямоугольными с одним и тем же масштабом, так что матрица перехода от одного репера к другому, а значит, и матрица С самого преобразования являются ортогональными.

Итак, движение плоскости (пространства) полностью определено по формулам (3), соответственно (4), если дани исходная прямоугольная система координат, ортогональная матрица С и числа а, b, (с).

В случае плоскости имеем формулы:

Если аффинное преобразование (в частности, движение) задано равенствами (4), то соответствующее преобразование многообразия всех векторов задается однородными формулами, получающимися из формул (4) вычеркиванием в их правых частях свободных членов . Другими словами, вектор переходит при преобразовании (4) в вектор , где

Для доказательства этого утверждения достаточно приложить вектор U к началу координат О так, что , где тогда , где координаты точки даются формулами (4) и . Вычитая из координат точки М координаты точки

О, мы получим для координат вектора формулы (6). Аналогичное утверждение имеет место и для плоскости.