§ 4. Прямая как пересечение двух плоскостей

Пусть две плоскости, заданные уравнениями

не параллельны, т. е. .

Тогда по крайней мере одии из трех детерминантов

отличен от нуля, и уравнения (1) и (1') совместны;

чтобы найти их совместное решение, т. е. точку , принадлежащую обеим плоскостям (1) и (1), достаточно в предположении, что, например, взять произвольное значение и решить по правилу Крамера систему уравнений

Итак, пусть есть какая-нибудь точка, принадлежащая обеим плоскостям (1) и (1'). Все остальные точки М, общие двум нашим плоскостям, найдутся, если приложить к точке всевозможные векторы

лежащие одновременно как в одной, так и в другой плоскости, или, что то же самое, всевозможные векторы - решения системы однородных уравнений

Так как , то по теореме 5 все эти векторы коллинеарны одному из них, например вектору

Все общие точки иаших двух плоскостей суть точки М, определяемые векторным уравнением

они образуют прямую, проходящую через точку и имеющую вектор своим направляющим вектором. Каноническое уравнение этой прямой есть

(где даны равенствами ).

Пример. Даны плоскости

Требуется написать каноническое уравнение прямой пересечения этих плоскостей. Находим точку , лежащую в обеих плоскостях. Полагаем, например, , тогда итак, Находим направляющий вектор прямой пересечения. Этот вектор имеет координаты

Каноническое уравнение искомой прямой записывается в виде

Задание прямой какой-нибудь парой уравнений (1), (1') иногда называется общим, заданием, а сама система уравнений (1), (1) — «общим уравнением» прямой.

Задание прямой каноническим уравнением есть частный случай общего задания, так как каноннческое уравнение есть система двух уравнений

каждое из которых определяет плоскость, параллельную одной из координатных осей (первое из уравнений (4) определяет плоскость, параллельную оси , а второе — параллельную оси (рис. 121).

Рис. 121.

Никакая прямая не может быть параллельной всем трем координатным плоскостям. Пусть, например, прямая (4) пересекает плоскость в точке — так как прямая (4) и, следовательно, ее направляющий вектор не параллельны плоскости , то ; поэтому вектор также является направляющим вектором нашей прямой.

Проходя через точку и имея направляющий вектор наша прямая имеет уравнение

(в котором ), т. е.

та система уравнений называется «приведеннымуравнением прямой».