§ 6. Линейные отображения векторных пространств

1. Определение и простейшие свойства линейных преобразований. Пусть А — отображение векторного пространства U на векторное пространство V, ставящее в соответствие каждому вектору и пространства U вектор пространства V.

Определение 2. Отображение А называется линейным, если оно удовлетворяет следующим двум условиям («условиям линейности») :

1) Для любых двух векторов их и

2) Для любого вектора и и любого числа А имеем

Из условий 1), 2) сразу следует, что при линейном отображении всякая линейная комбинация каких-либо векторов пространства U переходит в линейиую комбинацию векторов пространства V с теми же коэффициентами .

Замечание. Линейные отображения векторного пространства в себя также называются линейными операторами, и это название является даже более употребительным. Мы будем его придерживаться в главах XXIV, XXV этих «Лекций».

Установим простейшие свойства линейных отображений.

1° При линейном отображении нулевой вектор пространства U переходит в нулевой вектор 0 пространства V:

В самом деле, (где и — произвольный вектор пространства U). Значит, . Отсюда непосредственно следует

2° Если векторы их, линейно зависимы, то и их образы также линейно зависимы («линейная зависимость векторов сохраняется при всяком линейном отображении»).

В самом деле, если их, линейно зависимы, то существуют такие числа не все равные , что

Но тогда, по только что доказанному, и

векторы линейно зависимы.

Следствие. Пусть - линейное отображение пространства U на пространство V и векторы образуют линейно независимую систему в V. Тогда в U существует линейно независимая система, состоящая из k векторов их, , отображающихся соответственно в :

В самом деле, для каждого вектора существует по крайней мере один такой вектор , что (ведь А — отображение на все пространство V). Поэтому можно найти в U такие векторы , что . Система линейно независима (в противном случае, в силу 2°, система была бы зависима).

Из доказанного вытекает, далее:

Если -мерное пространство U линейно отображено на -мерное пространство V, то . В самом деле, по предположению в V существует линейно независимая система, состоящая из векторов; но тогда такая система существует и в U, так что .

3° Пусть А есть взаимно однозначное линейное отображение векторного пространства U на векторное пространство V. Тогда определено обратное отображение пространства V на пространство .

Докажем, что оно также есть линейное отображение. Докажем, в самом деле, что преобразование удовлетворяет обоим условиям линейности.

— произвольные векторы из V, пусть . Надо доказать, что . Пусть . Тогда, вследствие линейности преобразования А, имеем

т. е. , но , значит, , что и требовалось доказать.

Положим . Тогда и, в силу линейности отображения А,

значит, , или, наконец (если подставить в это равенство ),

что и требовалось доказать.

Из доказанного следует, что взаимно однозначные линейные отображения одного векторного пространства на другое суть не что иное, как изоморфные отображения (изоморфизмы), рассмотренные нами в § 1 этой главы.

В частности, взаимно однозначные линейные отображения (изоморфизмы) векторного пространства U на себя называются линейными преобразованиями. Из доказанных в § 1 свойств изоморфизмов следует, что при линейном преобразовании всякая линейно независимая система векторов переходит в линейно независимую, а всякий базис пространства U переходит в базис этого пространства.

Замечание 1. Теперь мы видим, что всякое аффинное преобразование плоскости или трехмерного пространства порождает изоморфное преобразование многообразия всех свободных векторов плоскости (соответственно трехмерного пространства).

2. Матрица линейного преобразования. Умножение преобразований и умножение матриц. Пусть А есть линейное отображение -мериого векторного пространства U на -мерное векторное пространство V. Мы знаем, что тогда .

Пусть - какой-нибудь базис пространства U. При преобразовании А векторы переходят соответственно в векторы . Каждый вектор

переходит при преобразовании А в вектор

Таким образом, линейное преобразование А векторного пространства U полностью определено формулой если заданы образы векторов , образующих какой-нибудь базис пространства .

Если отображение А взаимно однозначно (т. е. является изоморфизмом), то векторы образуют базис пространства V и отображение А состоит в том, что каждому вектору

ставится в соответствие вектор

имеющий относительно базиса , те же самые координаты, которые вектор и имел относительно базиса . В частности, это имеет место в том случае, когда и А есть линейное преобразование пространства .

Этим важнейшим частным случаем мы сейчас только и займемся. Теперь векторы лежат в пространстве U, следовательно,

и невырождающаяся матрица

т. е. матрица перехода от базиса к базису , полностью определяет преобразование А: чтобы для каждого вектора . найти координаты вектора (относительно того же базиса ), надо только заметить, что вектор относительно «нового» базиса , имеет координаты , значит, относительно «старого» базиса его координаты вычисляются по формулам (3) из § 2 (с заменой в них на ) на на при , т. е.

Матрица

называется матрицей преобразования А относительно базиса эта матрица транспонирована к матрице перехода А от базиса к базису ,

Для простоты письма предполагаем . Записывая вектор не в виде строки , а в виде столбца

можем переписать формулы (4) в виде

Итак, образ вектора и, заданного своими координатами при преобразовании А, есть матрица (столбец), являющаяся произведением матрицы А на матрицу

Поэтому образ вектора при преобразовании с матрицей В есть произведение матрицы В на матрицу

Другими словами (помня ассоциативность умножения матриц),

Итак, при перемножении преобразований матрицы их также перемножаются: матрица преобразования (сначала А, потом ) есть ВА.

Отсюда вытекает, что матрица обратного преобразования к преобразованию А есть матрица . В самом деле, так как произведение преобразований А и (взятых в любом порядке) есть тождественное преобразование матрица которого, очевидно, есть единичная матрица Е, то произведение матриц преобразований А и есть Е, откуда и следует, что эти матрицы взаимно обратны.

Решим теперь следующую задачу. Дана матрица А линейного преобразования А относительно базиса . Дан второй базис с соответствующей матрицей перехода P (от базиса I к базису .

Требуется найти матрицу А преобразования относительно базиса .

Пусть — произвольный вектор; его координаты относительно базисов обозначим соответственно через , так что

Координаты вектора в базисах обозначим соответственно через . Тогда имеем для любого вектора

но

следовательно,

Внося в правую часть равенства (7) выражение (5), получим

Внося сюда первое выражение из (6), получаем окончательно

т. е.

Это и есть чрезвычайно важная формула, которую мы хотели получить.