§ 9. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости
1. Угол между двумя прямыми. Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между любым направляющим вектором одной и любым направляющим вектором другой прямой (рис. 73).
Очевидно, это определение дает нам не один, а два угла, дополняющие друг друга до 
, т. е. оба смежных угла, образуемых двумя пересекающимися прямыми.
Предположим, что наши прямые 
даны их уравнениями (в прямоугольной системе координат)
Тогда в качестве налравляющих векторов этих прямых мы можем взять, например, векторы
Угол 
между векторами их и 
дается своим косинусом:
Если 
, то мы получаем по этой формуле острый угол между прямыми 
Если 
то тупой.
Равенство
выражает необходимое и достаточное условие для перпендикулярности прямых 
.
Часто бывает полезным следующее.
Замечание. Угол между векторами
нормальными к прямым 
, равен тому углу между этими прямьши, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным плоскостям, определяемым данными прямыми.
Рис. 73.
В самом деле, пусть угол между векторами 
равен а (рис. 74). Внутри угла, образованного данными прямыми, равного 
, возьмем точку 
и опустим из нее перпендикуляры 
на данные прямые. Угол 
между лучами 
равен 
.
Так как 
, то один из лучей, пусть, например, 
, одинаково направлен с соответствующим ему вектором 
, тогда как другой луч 
и вектор 
имеют противоположные направления. Поэтому луч, являющийся продолжением отрезка 
за точку 
, лежит в положительной полуплоскости, определяемой уравнением 
луч же, являющийся продолжением отрезка 
за точку 
, лежит в отрицательной полуплоскости, определяемой уравнением 
. Отсюда следует, что точка 
лежит в отрицательной полуплоскости, определяемой уравнением (I), и в положительной полуплоскости, определяемой уравнением (II).
Рис. 74.
2. Угол от первой прямой до второй. Если на плоскости выбрано положительное направление вращения, то можно говорить об угле от первой прямой до второй, понимая под этим снова угол от любого направляющего вектора первой до любого направляющего вектора второй прямой (рис. 75).
Так определенный угол 
определен с точностью до слагаемых вида 
, где k — целое.
Обозначая через 
, соответственно 
, угол наклона к оси абсцисс любого направляющего вектора соответственно первой и второй прямой (т. е. угол от орта оси абсцисс до соответствующего направляющего вектора), мы также получаем углы, определенные с точностью до слагаемых вида 
. При этом, все время с точностью до слагаемых вида 
, имеем 
откуда
Рис. 75.
Беря снова направляющие векторы
получаем:
и, подставляя эти значения в формулы (3), находим:
Если один из векторов 
заменить на противоположный, то изменится знак как у синуса угла (вследствие изменения направления вращения на противоположное), так и у косинуса (получается угол, смежный с рассмотренным); знак же тангенса угла от первого вектора до второго при такой замене не меняется.
Если прямые (I) и (II) даны своими уравнениями с угловым коэффициентом:
где 
, то
т. е.
Если прямые (I) и (II) взаимно перпендикулярны, то можно положить 
значит, 
или
(2)
Формулы (5) и (2) можно получить и пользуясь общими уравнениями прямых (I) и (II) — подставляя в формулы (5) и (2) значения угловых коэффициентов
