§ 6. Полюсы и полярные плоскости

Полярная плоскость точки и полюс плоскости относительно невырождающейся поверхности второго порядка определяются в полной аналогии с определением поляры точки и полюса прямой относительно невырождающейся кривой второго порядка: мы определяем для данной точки принадлежащей или нет поверхности второго порядка

полярную плоскость как плоскость с координатами

Если дана плоскость из уравнений (2) однозначно определяется точка полярной плоскостью которой и является плоскость . Единственная точка X, полярной плоскостью которой является данная плоскость, называется полюсом этой плоскости относительно невырождающейся поверхности (1).

Очевидно, уравнением полярной плоскости точки относительно поверхности (1) является уравнение

где — текущие координаты.

Аналогично теореме 8 главы XXII доказывается

Теорема 9 (теорема взаимности). Если точка X лежит на полярной плоскости точки P, то точка P лежит на полярной плоскости точки X.

Точка P тогда и только тогда инцидентна своей полярной плоскости, когда она лежит на поверхности (1); тогда ее полярная плоскость касается поверхности (1) в точке P.

Формулы (2), рассматриваемые сами по себе с единственным условием, чтобы матрица коэффициентов была невырождающейся (по, может быть, и несимметричной), определяют взаимно однозначное соответствие между точками и плоскостями проективного пространства. Такое соответствие называется коррелятивным соответствием, определенным матрицей А. Если невырождающаяся матрица А является симметричной, то она есть матрица коэффициентов некоторой квадратичной формы определяющей иевырождающуюся поверхность второго порядка

Тогда коррелятивное соответствие (2) называется полярным соответствием, порожденным поверхностью (1): оно сопоставляет с каждой точкой X полярную плоскость этой точки относительно поверхности (1).

Аналогично случаю кривых, можно всякую иевырождающуюся поверхность второго порядка рассматривать не только как множество лежащих на ней точек, по и как множество касательных к ней плоскостей.

Как и в § 5 главы XXII, убеждаемся, что координаты плоскостей, касательных к данной поверхности второго порядка, удовлетворяют некоторому однородному уравнению второй степени, которое называется тангенциальным, уравнением данной поверхности.

Рис. 253.

Понятие сопряженности двух точек относительно поверхности второго порядка определяется так же, как аналогичное понятие для кривых; доказывается, что полярная плоскость данной точки P есть геометрическое место точек, сопряженных данной точке P относительно поверхности (1).

Рассуждениями, аналогичными рассуждениям § 6 главы XXII, доказывается, что диаметральная плоскость, сопряженная данному направлению есть полярная плоскость несобственной точки удаленной в бесконечность в данном направлении; центр есть полюс несобственной плоскости.

Замечание. На плоскости поляры точки P относительно кривой второго порядка есть прямая, соединяющая точки касания двух касательных, проведенных к данной кривой из точки P. Это предложение обобщается на случай поверхностей следующим образом: все касательные прямые, проведенные к данной поверхности (1) второго порядка из данной точки Р (не лежащей на этой поверхности), образуют конус второго порядка (действительный или мнимый), общие точки которого с поверхностью (1) образуют кривую второго порядка у, по которой этот конус как бы «касается» поверхности (1) (рис. 253); плоскость, в которой лежит кривая , и есть полярная плоскость точки P. Доказательство этого факта, равно как обобщение теории полярных плоскостей на случай вырождающихся поверхностей второго порядка, читатель может найти в «Аналитической геометрии» Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова, том 2, § 216.