ГЛАВА XVII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Пересечение алгебраической кривой с прямой. Асимптотические направления и асимптоты алгебраической кривой

Если две алгебраические линии заданы своими уравнениями

то их пересечение образуют те точки , которые лежат и на той, и на другой линии, т. е. удовлетворяют обоим уравнениям

Мы будем рассматривать в этом параграфе лишь пересечение вещественной алгебраической линии, заданной уравнением

степени, с прямой; эту последнюю нам удобно задать ее параметрическим уравнением

причем направляющий вектор прямой (2).

Прямая (2) может быть при этом как вещественной, так и мнимой. Нахождение точек, лежащих на обеих линиях (1) и (2), сводится к совместному решению уравнений (1) и (2): значения выраженные посредством равенств (2) через t, подставим в (1); тогда получим алгебраическое уравнение

относительно одного неизвестного; решив его, найдем одно или несколько значений t, которые, будучи подставлены в (2), определят координаты искомых точек пересечения кривой (1) с прямой (2). Все дело при этом в подсчете степени уравнения (3). Ясно, что степень многочлена не может быть больше числа , являющегося степенью многочлена . Посмотрим, в каких случаях степень многочлена может оказаться меньше .

Соберем вместе все члены многочлена , каждый из которых имеет высшую степень, т. е. . Сумму этих членов обозначим через . Это — однородный многочлен степени , т. е. форма степени от двух переменных х и у — «форма старших членов многочлена ». Теперь мы можем написать тождество

где есть многочлен от х и у степени состоящий из членов, не вошедших в форму .

Подставляя (2) в (4) и делая приведение подобных членов, получим многочлен

в котором некоторые коэффициенты, быть может, равны нулю.

Займемся старшим коэффициентом При подстановке (2) в (4) только члены вида ахруч степени т. е. члены, входящие в , могут дать член степени относительно t; так как при нашей подстановке член перейдет в то он даст единственный член степени относительной, а именно Таким образом, каждый член многочлена и только члены этого многочлена дадут нам члены степени в . Сумма всех этих членов будет поэтому иметь вид и это будет старший член многочлена . Итак, Для того чтобы этот коэффициент был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой (2) удовлетворял условию

Определение 1. Ненулевой вектор удовлетворяющий равенству (6), называется вектором асимптотического направления относительно кривой (1).

Замечание. Множество всех ненулевых векторов (комплексной) плоскости распадается на классы коллинеарных векторов. Эти классы нам теперь удобно будет называть направлениями: два вектора тогда и только тогда имеют, или определяют, одно и то же направление, когда они коллинеарны, т. е. когда Таким образом, в отличие от прежнего словоупотребления, мы теперь считаем, что два взаимно противоположных вектора определяют одно и то же направление. Направление, определяемое вектором обозначаем через все направляющие векторы данной прямой определяют одно и то же направление, называемое направлением этой прямой. После этого замечания можно говорить о числе асимптотических направлений, определяемых данной кривой.

Пусть прямая (2) не есть прямая асимптотического направления относительно кривой (1).

Тогда для определения ее точек пересечения с кривой (1) мы имеем уравнение

степени . Число корней этого уравнения (считаемых с их кратностью) равно , и каждому корню соответствует (по формулам ) определенная точка пересечения (вещественная или мнимая) нашей прямой с кривой (1); при этом, если кратность корня равна то мы будем говорить, что и соответствующая точка пересечения прямой (2) с кривой (1) имеет кратность и тогда общее число точек пересечения кривой (1) с прямой (2), считаемых с их кратностями, равно .

Итак, мы можем сформулировать следующее основное предложение.

Теорема 1. Алгебраическая кривая порядка имеет со всякой прямой неасимптотического направления точки пересечения (вещественные или мнимые), общее число которых (если их считать с их кратностями) равно n.

К этой теореме мы (без доказательства) добавляем еще следующее

Замечание. Если многочлен степени , стоящий в левой части уравнения алгебраической кривой, разлагается на неприводимые множители кратности 1, то каково бы ни было направление, неасимптотическое для данной алгебраической кривой порядка , существует прямая, имеющая это направление и пересекающая данную кривую в различных точках.

Посмотрим теперь, что происходит, если прямая (2) имеет асимптотическое направление. Тогда коэффициент в уравнении

определяющем точки пересечения прямой (2) с кривой (1), равен нулю. Может случиться, что не только коэффициент но и все коэффициенты уравнения (5) окажутся нулями:

Тогда все уравнение (5) превратится в тождество означающее, что всякая точка прямой (2) удовлетворяет уравнению (1), т. е. лежит на нашей кривой: прямая (2) входит в состав кривой (1). Это действительно может иметь место, например, в случае кривых второго порядка, распадающихся на пару прямых (см. гл. XVI, § 1). Это же может иметь место и в случае кривой любого порядка, левая часть уравнения которой есть произведение множителей, по крайней мере один из которых — первой степени:

Перейдем к следующему случаю, когда

Тогда уравнение (5) превращается в противоречивое тождество:

Это значит, что уравнения (1) и (2) несовместны, и, следовательно, не существует никакой точки — ни вещественной, ни - лежащей одновременно на кривой (1) и на прямой (2). Если то в этом случае прямая (2) называется асимптотой к кривой второго порядка

Остается рассмотреть случай, когда первый в ряду коэффициент

отличный от нуля, есть коэффициент где Тогда для определения точек пересечения кривой (1) с прямой (2) мы имеем уравнение (5) степени и общее число точек пересечения (считаемых с их кратностями) меньше .

Итак, имеет место

Теорема 2. Для прямой (2), имеющей относительно данной алгебраической кривой (1) порядка асимптотическое направление, возможны следующие случаи:

1. Прямая (2) целиком входит в состав кривой (1).

2. Прямая (2) не имеет с кривой (1) ни одной общей точки (ни действительной, ни мнимой).

3. Общее число точек пересечения кривой (1) с прямой (2), считаемых вместе с их кратностями, равно k, где если при этом то прямая называется асимптотой.

Закончим этот параграф доказательством следующего предложения.

Теорема 3. Для того чтобы прямая, заданная уравнением

всеми своими точками содержалась в кривой

необходимо и достаточно, чтобы многочлен без остатка делился на многочлен т. е. чтобы имело место тождество

где — некоторый многочлен (степени ).

Условие, очевидно, достаточно; докажем, что оно необходимо. Доказательство. Из коэффициентов А, В в уравнении (7) по крайней мере один отличен от нуля. Пусть, например, Расположим многочлен но степеням у, т. е. напишем его в виде

где — многочлены от одного переменного Многочлен также расположим по степеням у, т. е. запишем его в виде

Рассматривая расположенные по степеням у многочлены как многочлены от переменного у, разделим первый из этих многочленов на второй, т. е. найдем те (однозначно определенные) многочлены — частное и остаток, которые удовлетворяют тождеству

Теорема 3 будет доказана, если мы покажем, что Докажем это от нротивного. Пусть число таково, что Подставив в уравнение (7), находим из него так что Подставим найденные значения в тождество (9). Получим

точка будучи точкой прямой (7), в то же время не лежит на кривой — вопреки предположению.

Теорема 3 доказана. Из нее вытекает такое Следствие. Для того чтобы кривая второго порядка распадалась на пару прямых, необходимо и достаточно, чтобы левая часть ее уравнения разлагалась на два линейных множителя.