§ 6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые

и

могут лежать или не лежать в одной плоскости (быть или не быть компланарными).

Положим

Для компланарности прямых (1) и (1') необходимым и достаточным условием является компланарность трех векторов (рис. 123):

т. е. равенство

(2)

Следовательно, прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда равенство (2) не имеет места.

Рис. 123.

Найдем уравнение плоскости, содержащей две компланарные прямые (1) и (1'). Предположим сначала, что прямые (1) и (1') пересекаются и что — их точка пересечения. Тогда плоскость, в которой лежат обе наши прямые, есть плоскость, проходящая через точку и два приложенных к ней неколлинеарных вектора .

Уравнением этой плоскости вляется, как мы знаем (§ 1), уравнение

(3)

оно и дает ответ на поставленный вопрос.

Пусть теперь прямые (1) и (1') параллельны. Тогда векторы коллинеарны, следовательно, уравнение (3) обращается в тождество и ничего нам не дает. Чтобы определить уравнение плоскости, содержащей две данные параллельные прямые (1) и (1'), заметим, что эта плоскость содержит точку одной из наших прямых, ее направляющий вектор и вектор .

Поэтому уравнение искомой плоскости есть

Замечание. Если прямые (1) и () скрещиваются, то уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) параллельно прямой (1). Доказательство предоставляется читателю.