§ 5. Системы трех уравнений с тремя неизвестными с детерминантом системы, равным нулю

Переходим к рассмотрению случая, когда детерминант системы (3) предыдущего параграфа равен нулю.

Начнем с однородной системы (7).

Итак, . Предположим сначала, что хотя бы одна из адъюнкт элементов матрицы А отлична от нуля, например . Тогда, разлагая по элементам первой строки, получим

Кроме того, имеем на основании предложения 10° из § 4

Совокупность тождеств показывает, что, полагая

мы получаем решение

системы (7), не являющееся нулевым (так как по предположению ). Система (7) имеет бесконечно много решений, так как очевидно, что, каково бы ни было число к, тройка чисел («вектор») также является решением системы (7).

Попутно мы доказали, что при столбцы матрицы

образуют линейно зависимую систему. В самом деле, полагая

можем переписать тождества в виде

что и означает (ввиду ) линейную зависимость столбцов матрицы А.

Пусть теперь детерминанты всех миноров второго порядка в матрице А равны нулю. Из равенства

мы заключаем, что , а из

заключаем, что .

Итак, первые две строки матрицы А пропорциональны между собою. Точно так же пропорциональны между собою последние две строки этой матрицы, значит, все строки матрицы А пропорциональны между собою, и, следовательно, все уравнения (7) могут быть получены из одного из них умножением на некоторые числа .

Пусть, например,

Тогда всякое решение уравнения

является решением и двух других уравнений системы (7). Но уравнение (7), несомненно, имеет ненулевые решения. В самом деле, если то такое решение получим, дав неизвестным х, у произвольные значения и определив из (7):

Если же , то, полагая где — любое число, не равное 0, получим ненулевое решение уравнения (7).

Итак, во всех случаях при система (7) имеет бесконечное множество ненулевых решений , и, следовательно, столбцы матрицы А связаны соотношением

в котором не все коэффициенты равны пулю.

Итак, из равенства нулю детерминанта матрицы следует линейная зависимость ее столбцов. А так как, транспонируя матрицу, не меняем ее детерминанта, то из равенства нулю детерминанта следует и линейная зависимость ее строк.

Сопоставляя этот результат с предложением 8° § 3, можем сформулировать следующее фундаментальное предложение.

Теорема 2. Равенство нулю детерминанта квадратной матрицы третьего порядка равносильно линейной зависимости строк (столбцов) этой матрицы.

Одновременно доказана и

Теорема 3. Для того чтобы система (7) трех однородных уравнений с тремя неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы детерминант системы равнялся нулю. В этом случае система (7) имеет бесконечное множество ненулевых решений.

Переходим к общему случаю системы (3) трех уравнений с тремя неизвестными с детерминантом, равным нулю. В отличие от однородных систем, неоднородная система может быть несовместной;

такова, например, система

(при любых значениях коэффициентов в первых двух уравнениях) или система

(при любых значениях коэффициентов ).

В обоих случаях детерминант системы равен нулю, что неизбежно ввиду теоремы 1. Однако имеет место следующая совершенно общая Теорема 4. Если система m уравнений первой степени с неизвестными

имеет решение

то, прибавляя (почленно) к этому решению любое решение

соответствующей однородной системы

получим снова решение

системы (9), причем всякое решение

системы (9) получается в виде

если надлежащим образом выбрать решение , однородной системы (10).

Мы докажем эту теорему при , доказательство в общем случае совершенно такое же.

Итак, пусть — какое-нибудь фиксированное решение системы

а - произвольное решение однородной системы (7). Подставляя в (3) значения

видим, что левая часть первого из уравнений (3) превращается в

Но первая скобка равна а вторая равна нулю, так что после нашей подстановки первое уравнение системы (3) превращается в тождество . В аналогичные тождества превращаются и остальные уравнения системы (3).

Обратно, если — произвольное решение системы (3), то, подставляя в уравнения этой системы сначала а затем и производя почленное вычитание, видим, что разности

образуют решение системы (7) и

Теорема 4 доказана.

Вернемся теперь к системе (3) в предположении, что детерминант системы равен нулю.

Если система (3) несовместна, то нам с ней больше нечего делать.

Если же она совместна и — какое-нибудь решение системы, то мы получим бесконечное множество решений

складывая решение со всевозможными решениями однородной системы (7).

Общим итогом сказанного является

Теорема 5. Система уравнений

имеет единственное решение в том и только в том случае, когда детерминант системы отличен от нуля; тогда это единственное решение получается по правилу Крамера. Если детерминант системы (3) равен нулю, то система (3) либо несовместна, т. е. не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное число решений, которые все получаются из одного какого-нибудь решения почленным прибавлением к нему всевозможных решений однородной системы (7).