§ 2. Углы Эйлера

Вернемся к теореме 1; нас интересует утверждение этой теоремы, касающееся возможности перевести посредством движения данный прямоугольный репер в любой другой прямоугольный репер, одноименный с данным. Мы можем легко дополнить эту теорему установлением тех геометрических элементов (тех «параметров»), которые определяют положение второго репера относительно первого (мы предполагаем сначала, что у обоих реперов одно и то же начало О).

Из рассуждений, проведенных на стр. 213—214, вытекает, что положение репера , вполне определено, если известны: прямая d (перпендикуляр, восставленный в точке О к плоскости ) и два угла: угол , на который надо повернуть репер вокруг прямой d, чтобы совместить орт с ортом , и угол того поворота, который после этого надо сделать, чтобы совместить вектор (в который перешел вектор после первого поворота) с вектором (после этого второго поворота репер , как мы видели (стр. 214), оказался полностью совмещенным с репером .

Рассмотрим ближе всю картину. Прежде всего, прямая d, проведенная через начало О перпендикулярно к плоскости , есть, очевидно, прямая пересечения плоскостей и . Плоскость , в которой, таким образом, лежит прямая d, ориентирована самим данным в ней репером поэтому положение прямой d определено наклоном какого-либо ее направляющего вектора к вектору . За направляющий вектор прямой d примем такой ее орт (рис. 111), что репер одноименен с репером . Угол от орта до орта (в ориентированной плоскости ) мы обозначим через Тогда поворотом репера вокруг оси, несущей орт (ось аппликат координатной системы Оввд), на угол в положительном направлении вращения мы совместим орт с ортом . При этом повороте орт перейдет в какой-то орт , а орт останется на месте.

Рис. 111.

Теперь совмещаем вектор с вектором посредством кратчайшего поворота на некоторый угол , вокруг прямой d, несущей орт е. Так как репер одноименен с репером , то этот поворот происходит в положительном направлении. Он переводит репер в репер , причем плоскость совместилась с плоскостью .

Нам остается только сделать поворот репера вокруг оси (несущей орт ) на угол вектора до вектора (в ориентированной плоскости , в которой лежат оба вектора ), тогда и вектор совместится с вектором .

называются эйлеровыми углами репера относительно репера . Зная репер и эти углы , мы сразу же можем определить единственный репер , имеющий эти углы своими эйлеровыми углами и одноименный с репером . В самом деле, мы сначала совершаем поворот репера вокруг оси, несущей вектор (ось аппликат координатной системы ), на угол в положительном направлении. Этот поворот переводит орт в орт , определяющий ось d (и весь репер — в ). После этого совершаем поворот репера вокруг оси d на угол 0 в положительном направлении. При этом орт перейдет в некоторый орт , орт останется на месте, а орт перейдет в новый орт репер перейдет в (прямоугольный) репер . Наконец, делаем поворот на угол в положительном направлении вокруг оси орта . Этот поворот, оставляя орт на месте, переведет орты в некоторые орты , а весь репер , (значит, и в однозначно определенный предыдущим построением прямоугольный ренер (одноименный с ).

Замечание I. Таким образом, переход от одного прямоугольного репера к другому, одноименному с ним и имеющему то же начало, осуществляется тремя поворотами, соответственно на углы , вокруг трех осей , которые (как и направления вращения вокруг них) определены исходным репером и углами .

Замечание 2. Углы Эйлера определяют репер лишь в предположении, что он одноименен с репером : для получения противоположно ориентированного репера с темн же углами Эйлера нам достаточно заменить орт ортом — (сохраняя полученные ранее орты ).

Для репера его углы Эйлера (относительно исходного репера , остающегося фиксированным) являются независимыми параметрами (определяющими этот репер); «независимость» означает, что этим параметрам мы можем давать совершенно произвольные значения (в пределах изменения каждого из них); каждому набору значений параметров соответствует вполне определенный репер .

Предположим теперь, что дано произвольное твердое тело с закрепленной точкой О в нем. Предположим, что в это тело ввинчен твердо связанный с ним прямоугольный репер . Тогда различные возможные положения тела взаимно однозначно соответствуют различным положениям неразрывно связанного с этим телом репера следовательно, вполне определяются углами Эйлера этого репера (относительно исходного данного в пространстве неподвижного репера ).

Таким образом, всевозможные положения твердого тела с одной закрепленной точкой вполне определяются тремя независимыми параметрами.

В механике этот факт выражают, говоря, что тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы.

Если отказаться от неподвижности точки О, т. е. допустить свободное перемещение тела в пространстве, то к трем рассмотренным параметрам присоединятся еще три координаты произвольной точки О, в которую можно перенести точку О, — твердое тело, способное свободно перемещаться в пространстве, имеет шесть степеней свободы (его положение определяется шестью независимыми параметрами).