§ 6. Прямолинейные образующие

Нас интересуют в этом параграфе лишь вещественные прямолинейные образующие только что рассмотренных поверхностей. Мы видели, что эллипсоиды, двуполостные гиперболоиды и эллиптические параболоиды их не имеют вовсе. Докажем, что через каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят (по крайней мере) две (различные) вещественные прямолинейные образующие

1. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Рассмотрим сначала «правильный» однополостный гиперболоид, заданный уравнением

Как мы видели, он описывается гиперболой

при вращении пространства вокруг оси , в соответствии с чем его сечения плоскостями суть окружности

В частности, при получаем так называемую горловую окружность

Докажем, что через каждую точку горловой окружности проходят две прямолинейные образующие гиперболоида.

Повернув систему координат на надлежащий угол вокруг оси z, можно достигнуть того, что ось у пройдет именно через точку причем вид уравнения (1) при этом преобразовании не изменится

Итак, достаточно доказать наше утверждение для точки

Но плоскость

очевидно, пересекает гиперболоид (1) по паре прямых

Они лежат на нашем гиперболоиде (1), проходят через точку и, значит, являются искомыми образующими.

Докажем, что при вращении пространства вокруг оси z каждая из прямых (2), например прямая опишет весь гиперболоид (1).

Рис. 222.

Пусть — какая-нибудь точка прямой она лежит на окружиости, по которой гиперболоид пересекает горизонтальная, т. е. параллельная, плоскость плоскость, проходящая через точку при вращении пространства вокруг осн z точка описывает всю эту окружность, т. е., во-первых, не покидает гиперболоида, а во-вторых, попадает в любую его точку, лежащую на той же высоте (т. е. на той же горизонтальной плоскости), что и точка

Следовательно, при вращении вокруг оси z и вся прямая во-первых, в каждый момент времени всеми своими точками лежит на гиперболоиде (1), а во-вторых, в некоторый момент оказывается проходящей через любую точку М гиперболоида.

То же справедливо и для прямой прямая при вращении пространства вокруг оси z в некоторый момент также пройдет через любую точку М гиперболоида.

Все прямые, в которые при вращении пространства вокруг оси z, переходит каждая из двух прямых составляют два семейства прямолинейных образующих правильного однополостного гиперболоида (1) (рис. 222). Через каждую точку М гиперболоида проходит по одной из образующих каждого семейства.

Можно было бы чисто геометрически доказать, что любые две образующие, принадлежащие различным семействам, лежат в одной плоскости (следовательно, или пересекаются, или параллельны между собою), тогда как любые две образующие, принадлежащие одному и тому же семейству, скрещиваются.

Замечание. Аффинное преобразование пространства

переводит всякую прямую в прямую, а однополостный гиперболоид

в правильный однополостный гиперболоид

поэтому на любом однополостном гиперболоиде имеются два семейства прямолинейных образующих, каждое из которых покрывает его так, что через всякую точку гиперболоида проходит по одной образующей каждого семейства.

Мы сейчас дадим аналитическую трактовку того же вопроса. Пусть однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением

Перепишем это уравнение в виде

или

Рассмотрим теперь пару вещественных чисел не равных одновременно нулю, и для каждой такой пары напишем систему уравнений

В частности, при получаем

а при

Для каждой пары чисел наши уравнения определяют пару плоскостей, как легко видеть, не параллельных (в широком смысле слова) и, следовательно, пересекающихся по прямой. Прямая эта целиком лежит на гиперболоиде (3). В самом каждая ее точка удовлетворяет обоим уравнениям (5), а следовательно, уравнению, полученному почленным перемножением уравнений (5), и, значит, уравнению (3). Случай, когда один из множителей равен нулю, исключения не представляет, так как точка , удовлетворяющая системе уравнений (6) или (7), удовлетворяет и уравнению (3).

Итак, мы получили семейство прямолинейных образующих гиперболоида (3). Семейство это назовем семейством I; оно, очевидно, зависит от одного параметра

Докажем, что через каждую точку гиперболоида (3) проходит одна - единственная прямая семейства I.

В самом деле, мы ищем прямую (5), проходящую через точку и удовлетворяющую уравнению (3), так что для определения отношения имеем уравнения (5), которые (после замены х, у, z на ) могут быть записаны в виде следующих пропорций:

причем выполнено тождество

получающееся, если подставить в (3) координаты точки . В силу тождества (40) мы можем для определения отношения воспользоваться любым из уравнений (), . Первое из них делается неопределенным, лишь если одновременно но в этом случае мы можем воспользоваться уравнением так как при во всяком случае значит, отношение определится из (52).

Итак, если задана точка то однозначно находится отношение определяющее прямую семейства I, проходящую через точку .

Отсюда следует, что никакие две прямые семейства I не пересекаются (так как если бы они пересекались в некоторой точке то эта точка била бы точкой гиперболоида (3), через которую проходят две прямые семейства I, а такой точки, по только что доказанному, не существует).

Легко проверить, что среди прямых семейства I нет двух параллельных.

Аналогично уравнениям (5) можно было бы для любой пары чисел , не равных одновременно нулю, написать систему уравнений

определяющую прямую, лежащую на гиперболоиде (3): каждая точка , удовлетворяющая двум уравнениям (5), удовлетворяет и уравнению, полученному от почленного перемножения этих уравнений, и, значит, удовлетворяет уравнению (3).

Итак, уравнения (5) также определяют семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (3), зависящее от одного параметра это семейство мы назовем семейством II.

Совершенно так же, как выше, мы убеждаемся в том, что через каждую точку гиперболоида (3) проходит одна - единственная образующая семейства II.

Наконец, совместное рассмотрение уравнений (5) и (5) (для данных ) позволяет установить, что каждая образующая семейства I пересекается с каждой образующей семейства II (или параллельна ей в узком смысле слова). Читателю предлагается (в виде задачи) провести относящиеся сюда рассуждения.

2. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Начинаем с чисто геометрического рассмотрения вопроса. Пусть дан параболоид

Рассмотрим аффинное преобразование

Тогда уравнение параболоида примет вид

Рассматриваем сечения параболоида (9) плоскостями

параллельными плоскостям Подставляя (10) в (9), видим, что пересечение параболоида (9) с плоскостью (10) есть прямая

Аналогично пересечением параболоида (9) с плоскостью (11) есть прямая

Когда с пробегает все значения от до плоскость (10) (так же как и плоскость ) пройдет через все точки параболоида, который, таким образом, оказывается покрытым двумя семействами прямых I и II, определяемыми уравнениями (12) и (13) (рис. 223).

Рис. 223.

Через каждую точку М параболоида (9) проходит единственная плоскость вида (10) и единственная плоскость вида (11), а значит, и единственная прямолинейная образующая каждого из семейств I и II. При этом все образующие семейства I параллельны плоскости а все образующие семейства II параллельны плоскости .

Можно было бы получить тот же результат и для любого параболоида, заданного своим каноническим уравнением

(только вместо плоскостей были бы рассмотрены плоскости ).

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида могут быть аналитически найдены способом разложения на множители, аналогичным тому, который мы применили в случае однонолостиого гиперболоида. Именно, перепишем каноническое уравнение

гиперболического параболоида в виде

и рассмотрим для каждой пары чисел , не равных иулю одновременно, уравнения двух плоскостей:

Эти плоскости пересекаются по прямой, целиком лежащей на параболоиде (8). Прямые (13), каждая из которых определена отношением образуют одно семейство прямолинейных образующих параболоида. Второе семейство получим, если рассмотрим (для каждой пары чисел , не ранных нулю одновременно) систему уравнений

Снова доказываем, что через каждую точку гиперболического параболоида (8) проходит по одной образующей каждого семейства, что две образующие, принадлежащие к разным семействам, пересекаются, а принадлежащие к одному и тому же семейству всегда скрещиваются.

Наконец, очевидно, что образующие семейства I, определяемого уравнениями (15), параллельны плоскости

а образующие семейства II, определяемого уравнениями (15), параллельны плоскости