Задачи к главе XIII

Задача 53. Доказать: для того чтобы ненулевая билинейная форма представлялась в виде произведения двух линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ранг этой билинейной формы был равен 1.

Доказательство необходимости. Пусть билинейная форма

с матрицей

представляется в виде произведения двух линейных форм:

и

В таком случае матрица А этой билинейной формы представляется в виде

Мы видим, что все строки матрицы А получаются умножением системы чисел

последовательно на числа

Так как форма

ненулевая, то в каждой системе чисел

имеются числа, отличные от нули; следовательно, ранг матрицы А равен 1.

Доказательство достаточности. Предположим, что ранг матрицы билинейной формы равен 1. Это значит, что найдутся две системы чисел

и

каждая из которых содержит числа, отличные от нуля и такие, что

Подставляя эти значения элементов матрицы А в равенство (1), иайдем, что

Задача 54. Доказать: для того чтобы ненулевая квадратичная форма с вещественными коэффициентами представлялась в виде произведения двух линейных форм (с вещественными или комплексными коэффициентами), необходимо и достаточно, чтобы ранг этой квадратичной формы не превосходил 2.

Доказательство необходимости. Пусть — ненулевая квадратичная форма, представляющаяся и виде произведения двух линейных форм:

Тогда по крайней мере одно из чисел

и по крайней мере одно из чисел

отлично от нуля.

Могут представиться два случая.

1° Числа

пропорциональны соответственно числам

Без ограничения общности можем считать, что

но тогда и

Рассмотрим преобразование координат

В новой системе координат квадратичная форма примет вид

откуда следует, что ранг ее в этом случае равен 1.

2° Числа

не пропорциональны числам

Это значит, что для некоторых )

Рассмотрим снова преобразование координат

(детерминант этого преобразования, равный отличен от нуля).

В новой системе координат квадратичная форма будет иметь вид

ее матрица имеет ранг 2.

Доказательство достаточности. 1° Предположим, что ранг квадратичной формы равен 1. Тогда существует базис, в котором эта квадратичная форма имеет вид

Возвращаясь к старым координатам, будем иметь

и наше утверждение доказано.

2° Предположим теперь, что ранг квадратичной формы равен 2. Тогда существует базис, в котором эта квадратичная форма имеет вид

Рассмотрим подробнее случай

Возвращаемся к старым координатам. Пусть

В исходной системе квадратичная форма принимает вид

откуда и следует наше утверждение.

Если ранг квадратичной формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, то форма представляется в виде произведения двух линейных форм с вещественными коэффициентами.

Задача 55. Доказать: для того чтобы существовал базис, в котором ненулевая квадратичная форма не содержит членов с квадратами координат, необходимо и достаточно, чтобы эта форма принимала как положительные, так и отрицательные значения.

Доказательство необходимости. Предположим, что квадратичная форма в некотором базисе не содержит членов с квадратами координат. Так как форма ненулевая, то в этом базисе по крайней мере один ее коэффициент отличен от нуля.

Без ограничения общности можно предположить, что . Тогда на векторах

и

наша функция принимает значения, противоположные по знаку.

Доказательство достаточности. Предположим, что форма принимает как положительные, так и отрицательные значения. Тогда в ее нормальном виде встречаются как положительные, так и отрицательные квадраты.

Пусть

— базис, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид

(здесь — размерность пространства, — ранг формы, k — положительны; индекс инерции).

Положим

Векторы образуют базис, так как определитель матрицы перехода отличен от пуля (его абсолютная величина равна двум).

Покажем, что каждый из векторов обращает форму в 0. Этим будет показано, что в новом базисе форма не содержит членов с квадратами координат.

Пусть сначала Тогда

Точно так же покажем, что если

то

Наконец, если

то

Задача 56. Доказать, что если и — положительный и отрицательный индексы инерции невырожденной квадратичной формы в -мерном пространстве, то существует линейное подпространство размерности, равной меньшему из индексов инерции, все векторы которого обращают эту форму в нуль, и не существует подпространства большей размерности, обладающего тем же свойством.

Доказательство. Предположим, что в базисе

квадратичная форма имеет вид

Пусть, налример,

Рассмотрим подпространства, определяемые следующей системой уравнений:

Эта система состоит из линейио независимых уравнений и, следовательно, определяет подпространство размерности q. Каждый вектор, являющийся решением этой системы, обращает квадратичную форму в 0.

Предположим, что существует подпространство размерности векторы которого обращают форму в 0. Такое подпространство может быть задано системой из линейно независимых уравнении.

Наряду с этой системой рассмотрим вторую систему уравнений, получающуюся добавлением к уравнениям прежней системы еще q уравнений

Новая система состоит из уравнений. Но следовательно, эта система уравнений имеет ненулевое решение. Это решение является решением и первых уравнений и потому обращает форму в 0. С другой стороны, так как в этом решении

то подстановка его значений в форму дает положительное число. Полученное противоречие показывает, что не существует подпространства размерности векторы которого обращают форму в 0.