§ 2. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства

Преобразование (т. е. взаимно однозначное отображение А евклидова пространства на себя ) называется ортогональным, если, оно сохраняет скалярное произведение, т. е. если для любых двух векторов , v пространства имеем

Из этого определения вытекает, что ортогональное преобразование А сохраняет скалярные квадраты, а значит, и длины векторов:

Докажем следующее предложение.

Теорема 2. Всякое ортогональное преобразование евклидова пространства есть линейное преобразование, матрица которого в любой ортонормальной системе координат ортогональна.

Обратно: всякое линейное преобразование пространства матрица которого хотя бы в одной ортонормальной системе координат ортогональна, является ортогональным.

Доказательство. Берем в ортонормальный базис Тогда

— при ортогональном преобразовании ортонормальный базис переходит в ортонормальный базис Пусть вектор имеет относительно базиса координаты тогда

и

— при преобразовании А всякий вектор и переходит в вектор , имеющий относительно базиса те самые координаты, которые вектор и имел относительно базиса . А это значит (см. гл. XII, § 6), что преобразование А линейно.

В силу теоремы 2 главы XXIV линейное преобразование А, переводя ортонормальный базис в ортонормальный базис имеет ортогональную матрицу А.

Первое утверждение теоремы 2 доказано.

Доказываем второе утверждение. Пусть линейное преобразование А пространства имеет ортогональную матрицу; тогда оно (по теореме 2 главы XXIV) переводит любой ортонормальный базис в ортонормальный базис . Пусть

так что

Тогда

и

что и требовалось доказать.

Так как (по теореме 2 главы XXIV) среди всех линейных преобразований преобразования с ортогональной матрицей и только они переводят ортонормальный базис в ортонормальный базис, то ортогональные преобразования могут быть определены как линейные преобразования, переводящие один какой-нибудь (и тогда всякий) ортонормальный базис в ортонормальный же базис.

Заметим, наконец:

для ортогональности линейного преобразования пространства достаточно очевидно, необходимо), чтобы оно сохраняло длину каждого вектора , т. е. чтобы было

В самом деле, пусть это условие выполнено. Тогда для любого вектора . Но для любых векторов имеем (гл. XXIV § 4, формулы )

значит,

Так как

то

откуда утверждение следует.

Подведем итог:

Теорема 2. Ортогональные отображения характеризуются среди всех линейных отображений d евклидова пространства каждым из следующих свойств:

1° Они сохраняют длины векторов.

2° Они переводят ортонормальный базис в ортонормальный.

3° Их матрицы относительно любого ортонормального базиса ортонормальны.

Докажем еще следующие две совсем простые теоремы. Теорема 3. Собственные значения ортогонального преобразования d равны ±1.

В самом деле, пусть — собственный вектор ортогонального преобразования — соответствующее ему собственное значение. Тогда

и

С другой стороны, в силу ортогональности преобразования d имеем Итак, .

Так как , то .

Теорема 4. Пусть — инвариантное подпространство евклидова пространства по отношению к ортогональному отображению . Тогда ортогональное дополнение также инвариантно по отношению к .

Лемма. При отображении d инвариантное подпространство отображается на себя.

Пусть — какой-нибудь ортонормальный базис инвариант иого подпространства Тогда векторы лежат в и ортогональны между собою; так как их число равно , то они образуют ортонормальный базис пространства .

Пусть — произвольный вектор из тогда вектор хрер также лежит в и Итак, всякий вектор является образом . некоторого вектора

Лемма доказана.

Доказываем теорему 4.

Пусть v — произвольный вектор из ортогонального дополнения к подпространству . Надо доказать, что т. е. что каков бы ни был вектор и Берем вектор при условии Тогда значит, и при всяком что и требовалось доказать.

Сделаем, наконец, следующее замечание (относящееся к любым векторным пространствам и к любым линейным отображениям).

Замечание. Пусть пространство есть прямая сумма своих подпространств и каждое из которых инвариантно относительно (произвольного) линейного оператора А. Тогда, взяв базис

получим, как известно, базис

Покажем, что оператор А имеет в этом базисе матрицу вида

В самом деле, так как лежат в значит, являются линейной комбинацией векторов то имеем при

Точно так же лежат в так что при имеем

отсюда и следует утверждение.

Теперь мы располагаем всеми средствами, чтобы доказать основной результат этого параграфа — теорему о структуре ортогональных преобразований.

Теорема 5. Для каждого ортогонального преобразования евклидова векторного пространства существует ортонормальный базис, в котором матрица А преобразования имеет вид

все остальные элементы матрицы суть нули.

Доказательство будем вести индукцией по . При имеем ортогональное преобразование А одномерного векторного пространства. Так как то

В первом случае матрица преобразования состоит из одного элемента 1, во втором — из элемента —1. При имеем ортогональное преобразование двумерного векторного можем его рассматривать как собственное или несобственное движение плоскости, оставляющее неподвижным начало координат О. Как было установлено в § 8 главы XI, такими движениями являются поворот на некоторый угол , вокруг точки О (собственное движение) и отражение относительно некоторой проходящей через точку О прямой, которую можем принять за ось абсцисс (несобственное движение).

В первом случае преобразование А имеет матрицу

во втором — матрицу

Итак, при теорема доказана.

Предположим, что она доказана для евклидовых пространств размерности докажем ее для

Имеются лишь две возможности:

1° Преобразование А имеет хотя бы одно вещественное характеристическое число.

2° Вещественных характеристических чисел преобразование А не имеет.

В случае 1° преобразование А имеет вещественный собственный вектор, соответствующий (по теореме 3) характеристическому числу Этот вектор определяет подпространство

Возьмем ортогональное дополнение к инвариантному подпространству Оно также инвариантно по отношению к преобразованию А.

Так как преобразование А, рассматриваемое в продолжает быть ортогональным, то, согласно предположению индукции, в имеется ортонормальный базис относительно которого матрица преобразования А (в ) имеет канонический вид (1). Взяв в собственный вектор длины 1, видим, что матрица преобразования А в пространстве состоит из одного элемента ±1. В полученном базисе матрица А имеет, согласно замечанию на стр. 733, вид

Так как имеет канонический вид (1), то и вся матрица А имеет после необходимого, быть может, изменения нумерации векторов канонический вид.

В случае 2° преобразование А имеет двумерное инвариантное многообразие . В нем имеется ортонормальный базис относительно которого матрица преобразования А (рассматриваемого лишь в ) имеет вид

Обозначим через ортогональное дополнение к подпространству пространство инвариантно относительно преобразования А;

Следовательно, согласно предположению индукции, в существует базис относительно которого преобразование А (рассматриваемое в имеет матрицу канонического вида.

В базисе

всего пространства преобразование А имеет матрицу

которая (даже и без изменения нумерации векторов) имеет канонический вид.

Теорема 5 доказана.