§ 6. Основной прямоугольник и асимптоты гиперболы

Как и в случае эллипса, основным прямоугольником гиперболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными второй и первой осям гиперболы и отстоящими от них соответственно на расстояния а и (рис. 88). В канонической системе координат уравнения этих прямых суть , тогда как уравнение самой гиперболы имеет вид

Диагонали основного прямоугольника суть прямые, имеющие своими уравнениями (все в той же системе координат, канонической для данной гиперболы)

Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Прямую

будем называть первой, а прямую — второй асимптотой.

Возьмем какое-нибудь значение переменного . Ему соответствует в верхней полуплоскости точка М гиперболы с абсциссой (см. рис. 88) и течка М (первой) асимптоты с тою же абсциссой х:

При этом

Рис. 88.

Чтобы найти ординату у точки М на гиперболе, достаточно решить уравнение (1) относительно , получим

При этом (так как мы находимся в верхней полуплоскости) радикал надо брать со знаком . Сравнивая правые части равенств прежде всего видим, что Другими словами, точка М, имея ту же абсциссу, что и точка М, имеет меньшую ординату, т. е. лежит под точкой М. Оценим разность ординат:

При неограниченном возрастании разность

оставаясь положительной, монотонно убывает и стремится к нулю, т. е. точки М и М, уходя в бесконечность (при неограниченном возрастании их общей абсциссы ), неограниченно сближаются между собою. При этом точка М гиперболы все время остается под точкой М асимптоты.

На нижней полуплоскости положение аналогично; при неограниченном возрастании (положительной) абсциссы точка гиперболы (имеющая абсциссу и лежащая в нижней полуплоскости) неограниченно сближается с точкой второй асимптоты, причем

точка М лежит выше точки М'.

Мы исследовали взаимное расположение точек гиперболы и пары ее асимптот при .

Картина при получается по симметрии (так как фигура, состоящая из гиперболы и двух ее асимптот, симметрична и относительно оси ординат). В целом общий вид гиперболы ясен из рис. 88.

Рис. 89.

Из произведенного исследования взаимного расположения гиперболы и ее асимптот следует, что гипербола не имеет ни одной общей точки ни с одной из своих асимптот. Этот геометрический факт легко доказывается и алгебраически: если бы существовала общая точка гиперболы и ее асимптоты, то координаты , у этой точки должны были бы одновременно удовлетворять уравнениям (1) и (2), которые несовместимы (подставляя (2) в (1), получим .

Рис. 90.

Замечание. Из формул (9) § 5 следует, что эксцентриситет гиперболы

(всегда больший единицы) равен отношению длины диагонали основного прямоугольника к его основанию (т. е. к стороне, параллельной фокальной оси гиперболы (рис. 89).

Эксцентриситет тем меньше, чем меньше отношение высоты основного прямоугольника к его основанию, т. е. чем острее угол между асимптотами.

Если , т. е. если основной прямоугольник есть квадрат (рис. 90), то эксцентриситет гиперболы равен и асимптоты взаимно перпендикулярны. В этом случае гипербола называется равнобочной равносторонней; ее уравнение есть

В главе VIII мы увидим, что если за оси координат принять асимптоты равнобочной гиперболы, то уравнением этой гиперболы будет

или, полагая ,

— мы получим уравнение гиперболы, как «графика обратной пропорциональности», известное из курса средней школы.