§ 6. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на плоскости

Пусть на плоскости дана прямая d своим уравнением

Для всех точек этой прямой и только для этих точек трехчлен

обращается в нуль; если же точка не лежит на прямой (1), то для нее либо , либо . Мы говорим, что прямая (1) разбивает плоскость на две полуплоскости; одна из этих полуплоскостей определяется как множество всех для вторых , а другая — как множество всех тех точек , для которых первая полуплоскость называется положительной по отношению к данному уравнению (1) нашей прямой, а вторая — отрицательной.

Если ту же прямую d задать каким-либо другим уравнением

То, согласно доказанному в § 2 (теорема 1), имеется такое число X, что , так что, обозначая левую часть уравнения (Г) через имеем . Отсюда сразу следует, что при положительная и отрицательная полуплоскости для уравнения (1) совпадают с положительной и отрицательной полуплоскостями относительно уравнения (Г), а при эти полуплоскости меняются местами: положительная полуплоскость относительно уравнения (1) делается отрицательной для уравнения (Г), и наоборот. Но всегда две точки, принадлежащие к одной или разным полуплоскостям относительно одного из двух уравнений (1), (1), сохраняют это свойство и при переходе к другому уравнению.

Имеет место следующая

Теорема 2. Если точки лежат в разных полуплоскостях, определенных прямой (1), то отрезок пересекает эту прямую в некоторой точке М (рис. 68, а); если же точки лежат в одной и той же полуплоскости, то в этой же полуплоскости лежит и весь отрезок (рис. 68, б).

Доказательство. Пусть точки и лежат в разных полуплоскостях. Напишем уравнение прямой, проходящей через точки и в параметрической форме:

где за направляющий вектор взят вектор так что

Рис. 68.

Поэтому те и только те точки прямой (2) принадлежат отрезку этой прямой, для которых . Посмотрим, какие значения принимает трехчлен когда точка пробегает прямую (2). Для этого подставим в трехчлен значения х и у из равенств (2). Получаем

Обозначая константы соответственно через , видим, что трехчлен превратился в линейную функцию от переменного :

При уравнения (2) дают нам координаты точки , а при (помним, что ) — координаты точки . Так как по предположению числа и разного знака, то и значения линейной функции при имеют разные знаки, а тогда для некоторого промежуточного значения , которому соответствует точка отрезка функция и, значит, трехчлен обратятся в нуль. Точка М является точкой пересечения отрезка и прямой (1) — первое утверждение теоремы доказано.

Доказываем второе утверждение. Помня все время, что , переписываем (3) в виде

т. е.

Если , то числа как t, так и , положительны; поэтому, если одного знака, то число будет иметь тот же знак, что и оба числа любая точка М отрезка принадлежит той же полуплоскости, что и обе точки . Теорема 2 полностью доказана.

Выясним ее наглядный смысл (а вместе с тем и геометрический смысл данного выше определения полуплоскости). Прямая (1) не может быть параллельна сразу обеим координатным осям; пусть, например, она не параллельна оси , так что .

Тогда каждая точка , не лежащая на прямой (1), или лежит «выше» этой прямой, или лежит «ниже» ее (рис. 69). Точный смысл этих выражений такой. Через точку проходит единственная прямая, параллельная оси , и эта прямая пересекает прямую (1) в точке . Если , то говорим, что точка лежит выше прямой (1), в противном случае говорим, что она лежит ниже.

Теорема 3. Все точки, лежащие выше прямой (1), образуют одну из двух полуплоскостей, на которые прямая (1) разбивает плоскость, а точки, лежащие ниже прямой (1), образуют вторую из этих полуплоскостей.

Рис. 69.

Рис. 70.

Доказательство. Мы предположили, что . Пусть, например, . Докажем, что тогда для всех точек , лежащих выше прямой (1), будет , а для всех точек , лежащих ииже этой прямой, будет .

Пусть — какая-нибудь точка, не лежащая на прямой (1). Как и прежде, обозначим через точку пересечения прямой (1) с прямой, проходящей через точку параллельно оси . Тогда

Так как мы предположили, что , то при будет и при будет

При получаются противоположные неравенства.

Итак, для всех точек , лежащих выше прямой (1), трехчлен имеет один знак; для всех точек, лежащих ниже, — другой. Теорема доказана.

Говорят также, что точки одной полуплоскости лежат по одну сторону, точки другой полуплоскости — по другую сторону от прямой (1) причем одну сторону (ту, где называем положительной, а другую (где отрицательной но отношению к данному уравнению (1) прямой .

Теорема 4. Если прямая d задана уравнением (1), то вектор , приложенный к какой-либо точке прямой (1), всегда направлен в положительную сторону от этой прямой.

Это значит: если где лежит на прямой (1), то точка лежит в положительной полуплоскости (рис. 70), для нее . В самом деле, . Вычисляем:

Теорема доказана.