§ 11. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка

Пусть прямая d есть ось симметрии данной кривой второго порядка С. Возможны два случая:

А. Направление, перпендикулярное к прямой d, является для кривой С асимптотическим.

Б. Направление, перпендикулярное к прямой d, не есть асимптотическое направление для кривой С.

Пусть имеет место случай А. Возьмем какую-либо пару точек кривой С, симметричных друг другу относительно прямой d. Так как прямая имеет асимптотическое направление и в то же время содержит две точки кривой С, то она вся входит в состав этой кривой: кривая С распадается на пару прямых одна из которых d перпендикулярна к прямой d. Вторая прямая не может быть наклонной к прямой d, так как в этом случае прямая d, очевидно, не может быть осью симметрии фигуры, составленной из двух прямых из которых одна перпендикулярна, а другая наклонна к прямой d.

Рис. 191.

Рис. 192.

Поэтому прямая d" или тоже перпендикулярна к прямой d, или совпадает с нею. В первом случае линия С состоит из двух параллельных прямых (рис. 191), и тогда всякая прямая, этим прямым перпендикулярная, является осью симметрии лииии С; кроме того, осью симметрии линии С является и единственный ее диаметр — средняя прямая между прямыми d и

Во втором случае линия С есть пара взаимно перпендикулярных прямых d и (рис. 192); каждая из этих прямых есть ось симметрии линии С. Кроме того, осями симметрии являются две биссектрисы двух пар вертикальных прямых углов, образованных прямыми Эти биссектрисы являются (взаимно перпендикулярными) сопряженными диаметрами: каждый из них делит пополам хорды, ему перпендикулярные (и параллельные второй биссектрисе).

Итак, в случае А кривая распадается на пару параллельных или на пару перпендикулярных между собою прямых и имеет в первом случае бесконечно много осей симметрии, а во втором — четыре оси симметрии.

Переходим к случаю Б: направление, перпендикулярное к оси симметрии d, не является асимптотическим для кривой С. Пусть d — какая-нибудь прямая, перпендикулярная к прямой d. Кривая С пересекает прямую d в двух точках (быть может, мнимых, быть может, совпадающих), симметричных относительно прямой d, так что прямая d делит пополам хорду (рис. 193). Другими словами, прямая d является диаметром кривой С, сопряженным направлению, перпендикулярному к прямой .

Рис. 193.

Определение 2. Направление называется главным относительно данной кривой второго порядка С, если это направление и перпендикулярное к нему являются взаимно сопряженными направлениями относительно этой кривой. Главное направление относительно кривой С называется также главным направлением квадратичной функции, определенной квадратичной формой старших членов уравнения кривой С в любой прямоугольной системе координат, а также главным направлением любой такой квадратичной формы. Диаметр кривой С, сопряженный перпендикулярному ему направлению, называется главным диаметром кривой С. Направление главного диаметра, очевидно, является главным направлением.

Из определения главного направления непосредственно вытекают такие следствия:

1° Направление, перпендикулярное к главному, тоже является главным.

2° Особое направление кривой С является главным для этой кривой.

В самом деле, особое направление сопряжено всякому направлению, в том числе и перпендикулярному к нему. Итак, асимптотическое направление параболы является главным для нее направлением. У параболы все диаметры имеют главное направление, но, как мы вияели в § 8, среди этих диаметров только один сопряжен перпендикулярному к иему направлению, и, следовательно, только один является главным диаметром — это ось параболы.

Ось параболы — единственная ее ось симметрии.

Из утверждения 1° следует, что направление, перпендикулярное к асимптотическому направлению параболы, также является главным направлением. Никакое направление кроме асимптотического и перпендикулярного к нему направления, не является главным направлением параболы (так как единственное направление, сопряженное направлению есть асимптотическое направление и оно не перпендикулярно направлению ). Итак, у параболы имеются ровно два главных направления: асимптотическое и перпендикулярное к нему.

По тем же соображениям и линия, распавшаяся на пару параллельных прямых d и d', имеет два главных направления: общее направление прямых d и d' и перпендикулярное к этим прямым направление.

Переходим к центральным кривым. Если направление главное для центральной кривой С, то (перпендикулярное к нему) сопряженное ему направление тоже главное. Ни одно из главных направлений центральной кривой не может быть асимптотическим (потому что в случае центральной кривой каждое направление сопряжено одному - единственному направлению, а асимптотическое направление сопряжено лишь самому себе). Поэтому диаметр центральной кривой, имеющий главное направление, является главным диаметром, а значит, является осью симметрии кривой. Из сказанного вытекает, что всякая кривая второго порядка имеет по крайней мере одну пару взаимно перпендикулярных главных направлений.

Из предыдущих рассуждений следует

Теорема 10. За исключением случая, когда данная кривая второго порядка С есть пара параллельных или пара перпендикулярных между собою прямых, всякая ось симметрии кривой С есть главный диаметр этой кривой.

Обратно, главный диаметр кривой С, очевидно, есть ось симметрии кривой С.

Переходим к нахождению главных направлений. Система координат до конца параграфа прямоугольная.

Мы ищем такое направление, чтобы вектор этого направления был перпендикулярен к сопряженному ему вектору По формуле § 8 имеем

Условие перпендикулярности векторов есть т. е.

Это условие означает существование такого , что

или

Рассмотрим сначала центральный случай: . Требуется найти ненулевой вектор - решение однородной системы (1'); это возможно, лишь когда детерминант системы равен нулю, т. е.

Взяв в качестве к какой-либо корень уравнения (2) и подставив его в (1), заключаем — именно в виду равенства нулю детерминанта оба уравнения (1) эквивалентны между собою и дают одно и то же направление

Здесь, как только что сказано, — какой-нибудь корень уравнения (2). Но этих корней — два, так как уравнение (2) — квадратное уравнение, которое в развернутом виде есть

(здесь, как всегда, ). Обозначая корни уравнения (2) через и получаем из (3) два главных направления:

и

мы получили давно известные нам формулы. Эти направления действительны, так как действительны корни

уравнения (2). Эти корни совпадают в единственном случае, когда рассматриваемая кривая есть окружность.

Заметим, что в центральном случае ни один из корней уравнения (2) не равен нулю, так как, подставив в (2), получили бы

Имеются ли случаи, когда два эквивалентных уравнения (1) (т. е. ) не позволяют определить главное направление? В силу (3) это может случиться, только когда одновременно т. е. снова лишь в случае окружности . Для окружности всякий диаметр есть ось симметрии, всякое направление главное.

Если же наша кривая не есть окружность, то формулы (3) позволяют совершенно однозначно определить два главных направления. заведомо различны, так как в центральном случае, который мы рассматриваем, являются направлениями двух взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров. Итак, доказана

Теорема 11. За единственным исключением окружности (когда всякое направление — главное), мы имеем для каждой центральной кривой второго порядка два и только два главных направления значит, не более двух осей симметрии с неасимптотическими направлениями).

главных направления центральной кривой перпендикулярны между собою.

Мы уже установили непосредственно, что парабола и пара параллельных прямых имеют два взаимно перпендикулярных главных направления, одно которых — асимптотическое. Легко убедиться в этом и посредством простого вычисления. В самом деле, пусть . Тогда уравнение (2) удовлетворяется при Второй корень уравнения (2) не может равняться нулю, так как тогда было бы — многочлен был бы многочленом не выше первой степени. Подстановка в уравнения (1) дает

что сразу приводит к асимптотическому главному направлению - параболической кривой. Второй корень дает главное направление перпендикулярное к асимптотическому направлению (полагая имеем ).

Теперь мы легко можем найти по общему уравнению параболы и уравнение ее оси.

Ось параболы имеет угловой коэффициент и является в то же время диаметром, сопряженным к хордам перпендикулярного направления, т. е. хордам с угловым коэффициентом (или с направляющим вектором где можно взять или .

Уравнение диаметра, сопряженного хордам с направляющим вектором есть

Значит, полагая получаем уравнение оси параболы в виде

т. е.

Из вытекает

Поэтому уравнение оси переписывается в виде

т. e. окончательно в виде

Аналогично, полагая получаем для оси уравнение

При можно пользоваться любым из этих уравнений. При (значит, ) надо пользоваться вторым, при значит, — первым. Получаем соответственно уравнение оси в первом случае в виде

во втором случае в виде

Найдя уравнение оси параболы, мы сразу же находим и вершину О параболы (как точку пересечения параболы с ее осью).

Принимая вершину параболы О за начало новой системы координат, ось параболы — за новую ось а касательную в вершине — за ось определим положительное направление так, чтобы в новой системе координат уравнение параболы имело вид

Для нахождения интересующего нас положительного направления вспомним (§ 4 гл. XVI), что после поворота исходной системы координат на угол и последующего переноса начала координат в точку О уравнение параболы приняло вид где (гл. XVI, § 1, формула ) .

Для того чтобы было надо на угол , определяемый из уравнения наложить дополнительное требование, заключающееся в том, чтобы числа S и имели противоположные знаки. Найденный таким образом угол и дает нам положительное направление оси канонической системы координат .