§ 3. Асимптотические направления кривых второго порядка

В § 1 асимптотические направления были определены для любой алгебраической кривой. Сейчас мы повторим это определение для кривых второго порядка, которыми только и будем в дальнейшем заниматься.

Рассмотрим кривую, заданную в произвольной аффинной системе координат уравнением

где, как всегда,

При переходе к новой системе координат многочлен тождественно переходит в многочлен , а квадратичная форма старших членов многочлена тождественно переходит в квадратичную форму старших членов многочлена . Поэтому квадратичная форма старших членов уравнения (1), задающего данную кривую второго порядка в любой аффинной системе коордннат, определяет одну и ту же квадратичную функцию

в системе та же функция запишется в виде

если — координаты вектора и относительно базиса

Замечание, Мы рассматривали лишь координатные системы с тем же началом, что и исходная система Но перенос начала координат не оказывает влияния ни на координаты вектора ни на коэффициенты формы . Поэтому вывод, к которому мы только что пришли, остается справедливым при переходе от исходного репера к любому реперу .

Вектор имеет по отношению к кривой (1) асимптотическое направление, если

Из сказанного следует, что свойство вектора иметь асимптотическое направление по отношению к данной кривой зависит только от данного вектора и данной кривой и не зависит от координатной системы, в которой мы их рассматриваем.

Из условия (3), определяющего асимптотические направления, легко следует, что всякая кривая второго порядка имеет два асимптотических направления, которые могут быть действительными и различными, действительными и совпадающими или мнимыми сопряженными. В самом деле, все три коэффициента не могут быть одновременно равны нулю. Если , то для определения асимптотических направлений имеем квадратное уравнение

Из которого находим два значения для отношения :

Если известно, что то вместо для определения бы написали уравнение

откуда

и один из коэффициентов равен нулю. Если, например то уравнение (3) превращается в

и одним из двух асимптотических направлений является направление соответствующее оси абсцисс.

Наконец, при условие (3) превращается в оно определяет направления т. е. направления осей координат выбранной нами координатной системы.

Дискриминант квадратного уравнения или (32) есть — где) как всегда,

Итак, асимптотические направления кривой второго порядка действительны и различны, когда т. е. когда кривая — гиперболического типа; они являются мнимыми и сопряженными в эллиптическом случае, т. е. когда наконец, кривые параболического типа характеризуются тем, что у них имеются два совпадающих вещественных асимптотических направления, а именно (как следует из ) или (42) при

Рассмотрим частный случай окружности. Всякая окружность в любой координатной системе задается уравнением вида

и всякое уравнение этого вида определяет окружность.

Для нахождения асимптотических направлений имеем условие , из которого следует, что все окружности имеют одни и те же мнимые асимптотические направления, а именно направления, записывающиеся в любой прямоугольной системе координат в виде

Эти направления называются изотропными направлениями на плоскости.

Асимптотические направления эллипса, заданного в канонической для него системе координат уравнением

суть как сразу видно из определяющего эти направления условия Так как ни одно действительное направление не является для эллипса асимптотическим, то всякая вещественная прямая пересекает эллипс в двух действительных или мнимых различных или совпадающих точках. При этом ко всякой вещественной прямой можно найти параллельную ей прямую, пересекающую эллипс в двух различных вещественных точках, достаточно взять прямую, параллельную данной и проходящую через центр эллипса (т. е. через начало канонической для данного эллипса системы координат). Для гиперболы

получаем асимптотические направления

Это направления диагоналей основного прямоугольника гипербольь т. е. прямых

уже названных нами в главе VI асимптотами гиперболы; они и действительно являются асимптотами в общем, установленном в § 1 этой главы смысле: каждое из уравнений т. е.

несовместно с уравнением (7), что делается очевидным, если уравнение (7) переписать в виде

Докажем, что никаких других асимптот, кроме прямых (8), у гиперболы (7) нет.

В самом деле, всякая асимптота должна иметь асимптотическое направление, т. е. направляющий вектор Прямая с направляющим вектором имеет параметрическое уравнение

Найдем общие точки гиперболы (7) и прямой (9). Подставляя значения х, у из (9) в (7), получаем для определения точек пересечения гиперболы с прямой (9) уравнение (относительно )

Это уравнение имеет единственное решение, за исключением случая, когда

в этом случае оно превращается в противоречивое тождество и прямая (9) действительно оказывается асимптотой. Покажем, что ее уравнение есть . В самом деле, система параметрических уравнений (9) эквивалентна одному уравнению

а тождество (10) может быть переписано в виде так что уравнение (11) получает вид

Итак, единственная асимптота гиперболы (7), имеющая направляющий вектор есть давно известная нам асимптота .

Совершенно так же доказывается, что единственная асимптота гиперболы (7), имеющая направляющий вектор есть асимптота

Других асимптот у гиперболы нет.

Для параболы

квадратичная форма сводится к одному члену асимптотические направления определяются из условия

это два слившихся направления, каждое из которых совпадает с направлением т. е. с направлением оси параболы.

Каждая прямая этого направления имеет с параболой единственную общую точку таким образом, ни одна из прямых асимптотического направления не является асимптотой параболы — у параболы асимптот нет.

Рассмотрим, наконец, случай, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Если эти прямые пересекающиеся, то их можно иринять за оси координат некоторой аффинной системы и уравнением пары этих прямых будет

Здесь и асимптотические направления определяются из уравнения

Это направления самих наших прямых.

Такой же результат мы получим и для крнвой, распадающейся на пару параллельных (в широком смысле) прямых. Взяв систему координат, ось абсцисс которой является средней прямой между обеими данными, а ось ординат произвольна, видим, что получаем каноническое уравнение, — в надлежащей системе координат эта кривая имеет уравнение

Здесь (как и в случае параболы) и мы получаем пару асимптотических направлений каждое из которых совпадает с общим направлением двух данных параллельных прямых.

Замечание о кривых высших порядков. Покажем, что алгебраическая кривая порядка, определяемая уравнением

где есть однородный многочлен (форма) степени, а — многочлен степени имеет асимптотических направлений (если каждое из них считать с его кратностью).

В самом деле, многочлен можно записать в виде

где уже не делится ни на , ни на (так что соответственно наивысшая степень , соответственно , на которую делятся все члены ; эта степень в частности, быть и нулевой).

Степень многочлена есть

Асимптотическими направлениями являются:

1) направления (считаемые с кратностью ),

(считаемые с кратностью

2) направления, удовлетворяющие уравнению

Это — направлений являющихся корнями уравнения где многочлен есть частное от деления многочлена на т. е. определяется равенства

Всего имеем асимптотических направлений.