ГЛАВА XIX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ; КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ; ЦЕНТР)

§ 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени

Рассматриваем общее уравнение поверхности второго порядка в произвольной аффинной системе координат :

Как всегда, полагаем

(2)

Вводим еще следующие обозначения:

Матрицу называем большой матрицей уравнения (1), матрицу — малой матрицей. Ранги этих матриц называем соответственно большим и малым рангом поверхности, задаваемой уравнением (1), и обозначаем их соответственно через R и r; мы сейчас увидим, что эти ранги не зависят от выбора системы координат, в которой задается уравнение поверхности. Детерминанты матриц обозначаются соответственно через .

Мы знаем (гл. XV, § 2), что при сдвиге начала координат малая матрица, а значит, и ее детерминант не меняются.

При линейном однородном преобразовании

ранг матрицы не меняется, а детерминант (как дискриминант квадратичной формы ) умножается на (гл. XIII, § 3).

Так как всякое преобразование координат сводится к сдвигу начала координат и к однородному преобразованию вида (3), то при переходе от системы координат к произвольной новой системе координат ранг матрицы не меняется, а ее детерминант умножается на квадрат детерминанта преобразования.

Докажем аналогичное утверждение для большого ранга R и детерминанта .

Возьмем общие формулы преобразования координат:

Наряду с многочленом рассмотрим квадратичную форму

и преобразование

Тогда есть матрица формы , а — ее дискриминант. При преобразовании (4) ранг R формы Ф остается неизменным, а ее дискриминант умножается на квадрат детерминанта преобразования (4), т. е. на

Мы доказали следующее предложение.

Основная лемма. При преобразовании координат (4) ранги матриц остаются неизменными, а их детерминанты умножаются на квадрат детерминанта преобразования (4) и, следовательно, сохраняют свой знак.

Замечание 1. Если преобразование (4) есть сдвиг начала координат, , так что детерминант (5) равен 1. Поэтому при переносе начала координат не только детерминант , но и детерминант А остается неизменным.

Замечание 2. Так как детерминант есть детерминант третьего порядка, то при умноженни всех его элементов на знак меняется на обратный. Зато знак детерминанта не меняется при умножении его элементов (т. е. всех коэффициентов уравнения ) на —1, значит, и на любой вообще множитель