ГЛАВА XIII. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ НА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 1. Линейные функции

Задать (числовую) функцию на векторном пространстве L (в размерности ) — значит дать правило, позволяющее поставить в соответствие каждому вектору некоторое число (значение функции для этого вектора ). Если в пространстве задан некоторый базис , позволяющий каждый вектор записать в виде

то возникает задача: выразить для каждого вектора (1) значение через координаты вектора (посредством некоторой формулы).

Определение 1. Функция , определенная на пространстве , называется линейной, если она удовлетворяет условиям:

1° для любых двух векторов

2° для любого вектора и любого числа . Эти условия могут быть заменены одним условием:

из которого следует и общее условие:

для любых векторов из и любых чисел .

Для любого вектора значение функции есть . Обозначим значение функции для векторов через

Тогда имеем

Правая часть равенства (4) есть однородный многочлен первой степени, линейная форма от переменных ,

Итак, если в пространстве задан базис , то линейная функция записывается в виде линейной формы (4), выражающей значение через координаты вектора и (относительно этого базиса).

Важно заметить с самого начала: линейная функция (и вообще всякая числовая функция) в пространстве не зависит от выбора того или иного базиса в этом пространстве, «Функция» — это значит: каждому вектору и поставлено в соответствие число это число определено, как скоро определен вектор и; выбор базиса в пространстве здесь ни при чем. Но запись (4) в виде линейной формы, естественно, зависит от выбора базиса: если вместо базиса возьмем другой базис , то вектор относительно базиса , будет иметь уже другие координаты и

Полагая , видим, что относительно базиса та же функция записывается в виде линейной формы:

Естественно спросить: как выражаются коэффициенты через коэффициенты , если известно, что векторы «нового» базиса даны своими координатами относительно «старого» базиса :

Ответ дается автоматическим вычислением:

т. е.

Мы видим, что

— при переходе от базиса к базису , коэффициенты линейной формы (4) преобразуются так же, т. е. посредством той же матрицы, как базисные векторы.