§ 2. Множество решений системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
Теорема 5. Пусть система уравнений
независима, т. е. тройки коэффициентов в обоих уравнениях не пропорциональны между собою, так что по крайней мере один из детерминантов
отличен от нуля.
Тогда множество всех решений системы (1) есть одномерное векторное многообразие, состоящее из всех векторов 
, коллинеарных вектору 
.
Доказательство. Пусть, например, 
. Дадим неизвестному 
произвольное значение 
. Тогда значения 
двух других неизвестных однозначно определяются из системы (1), иереписанпой в виде
по правилу Крамера:
и мы получаем решение 
.
В частности, если положить 
получаем решение
Значит,
также есть решение системы (1).
Так как всякое решение 
, определяется значением неизвестного 
формулам (2), то в силу этих формул всякое (отличное от нулевого) решение 
удовлетворяет пропорции
— теорема доказана.
Следствие 1. Пусть даны два неколлинеарных вектора
являющиеся решениями уравнения
Тогда коэффициенты уравнения (3) определены с точностью до общего множителя, а именно:
В самом деле, имеем равенства
Рассматривая эти равенства как уравнения относительно неизвестных А, В, С с коэффициентами 
, и соответственно 
и имея в виду, что векторы 
не коллинеарны и, значит, 
, мы видим, что находимся в условиях теоремы 5, откуда и следует пропорция (4).
Из доказанного следствия 1 сразу вытекает Следствие 2. Два однородных уравнения
тогда и только тогда имеют одно и то же множество решений, когда их коэффициенты пропорциональны.
В самом деле, множество решений каждого из уравнений (1) есть двумерное векторное многообразие. Если множество решений обоих уравнений (1) есть одно и то же двумерное многообразие, то, беря в нем два неколлинеарных вектора 
, заключаем из следствия 1, что обе тройки коэффициентов А, В, С и А, В, С пропорциональны тройке
т. е.
или
О братно, если пропорция (5) имеет место, то одно из уравнений (1) получается из другого умножением обеих его частей на одно и то же 
, так что оба уравнения имеют одно и то же множество решений.
