Задачи к главе XII
Задача 50. Дана система линейных однородных уравнений
Найти фундаментальную систему ее решений; проверить, что система чисел 
является решением данной системы уравнений; представить это решение как линейную комбинацию фундаментальной системы решений.
Решение. Вычислим ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнений этой системы:
Для этого найдем минор этой матрицы наивысшего порядка, определитель которого отличен от нуля. Левый верхний элемент этой матрицы равен 
. Определитель минора, окаймляющего этот элемент, 
. Определители всех миноров третьего порядка, окаймляющих этот определитель второго порядка, равны нулю. Следовательно, ранг матрицы данной системы равен 2. (Можно было бы проверить, что третья строка матрицы есть линейная комбинация первых двух ее строк с коэффициентами —5 и 3, а четвертая строка — линейная комбинация тех же строк с коэффициентами 9 и -2). Поэтому все решения системы, составленной из первых двух уравнений, будут в то же время решениями исходной системы.
Найдем фундаментальную систему решений системы уравнений
Так как определитель 
составленный из коэффициентов при неизвестных 
отличен от нуля, то 
можно принять за свободные неизвестные.
Перепишем последнюю систему в виде
решая ее относительно 
найдем
Полагая сначала 
а затем 
получим фундаментальную систему решений данной системы уравнений
Подстановкой убеждаемся, что вектор 
действительно является решением системы. Так как 
образуют фундаментальную систему решений, то
или
откуда находим
и, следовательно,
Задача 51. Доказать: для того чтобы две системы векторов 
-мерного линейного пространства
и
каждая из которых линейно независима, определяли одно и то же 
-мерное подпространство, необходимо и достаточно, чтобы соответственные детерминанты миноров порядка 
матриц
составленных из координат этих векторов, были пропорциональны.
Доказательство необходимости. Если векторы 
обеих систем определяют одно и то же 
-мерное линейное подпространство, то, в силу линейной независимости векторов
они образуют базис этого подпространства, и потому векторы
через векторы 
линейно выражаются:
или в координатах:
Введем в рассмотрение матрицу
тогда равенства (1) могут быть переписапы в виде
Так как матрицы А и В имеют один и тот же ранг 
, то из равенства (2) следует, что матрица С невырожденная, т. е. что 
. Из равенства (2), далее, следует, что если мы возьмем детерминант порядка 
, составленным из каких-нибудь 
столбцов матрицы В, то он будет равен детерминанту матрицы С, умноженному на детерминант, составленный из 
столбцов матрицы А с такими же номерами. Необходимость условия, таким образом, доказана.
Доказательство достаточности. Без ограничения общности можно предположить, что детерминант, составленный из первых 
столбцов матрицы А, отличен от нуля. Но тогда, в склу пропорциональности детерминантов матриц А и В, составленных из столбцов с одинаковыми номерами, детермннаит, составленный из первых 
столбцов матрицы В, также будет отличен от нуля.
Линейное подпространство, натянутое на векторы
определяется следующей системой 
линейно независимых уравнений
Коэффициентами этих уравнений являются детерминанты порядка 
, составленные из столбцов матрицы А.
Аналогичной системой уравнений определяется подпространство, натянутое на векторы 
причем коэффициентами этих уравнений будут детерминанты 
порядка, составленные из столбцов матрицы В.
Коэффициенты соответственных уравнений при одинаковых неизвестных суть детерминанты, составленные 
столбцов матриц А и В с одинаковыми номерами. Но, но предположению, такие детерминанты пропорциональны; следовательно, подпространства, натянутые соответственно на векторы 
определяются системами уравнений, в которых коэффициенты соответственных уравнений при одинаковых неизвестных пропорциональны. Следовательно, эти подпространства совпадают.
Задача 52. Найти матрицу линейного преобразования 
которое линейно независимые векторы
переводит соответственно в векторы
Решение. Обозначим через А матрицу, столбцами которой являются координаты векторов 
через В — матрицу, имеющую своими столбцами координаты векторов 
а через С — матрицу искомого линейного преобразования. Тогда будем иметь
или
откуда
