§ 7. Проективные координаты на прямой. Проективные отображения прямой

Подобно тому, как проективная плоскость находится в естественном взаимно однозначном (перспективном) соответствии со связкой, так проективная прямая находится в естественном соответствии с пучком прямых.

Пусть в самом деле на какой-нибудь плоскости , проходящей через данную прямую d, взята точка О, не лежащая на прямой

Прямые , проходящие через точку О, — мы будем их в дальнейшем называть лучами — образуют пучок, который будем обозначать одной буквой О. Каждой точке М прямой d соответствует единственный ведущий в нее луч пучка О, и этим установлено соответствие, называемое перспективным, между точками М прямой d и лучами m пучка О. Соответствие это взаимно однозначно, если считать, что лучу пучка О, параллельному прямой d, соответствует несобственная точка этой последней.

Рис. 237.

Далее все идет знакомым нам путем, только проще, чем в случае плоскости и связки. Всякая аффинная система координат на плоскости начало которой лежит в центре О пучка О, называется системой координат в пучке (рис. 237); координатами данного луча пучка называются координаты любого направляющего вектора этого луча относительно системы Две координатные системы и называем эквивалентными, если при некотором имеем Совокупность всех пар координат всякого луча m пучка О в двух эквивалентных координатных системах будет одна и та же. Обратно, если две аффинные координатные системы и в пучке таковы, что каждый луч пучка имеет в обеих этих системах одни и те же множества пар координат то — как легко видеть § 5) — системы эквивалентны между собою.

Определение 7. Задать в пучке О систему проективных координат — значит задать в этом пучке какую-нибудь аффинную систему , причем дне эквивалентные аффинные системы координат, по определению, задают одну и ту же проективную систему. Другими словами: проективная система координат в пучке есть класс эквивалентных между собою аффинных систем.

Чтобы определить проективную координатную систему в пучке, достаточно задать два каких-нибудь его луча , называемых координатными лучами, и третий, «единичный» луч Е: беря на луче Е произвольную точку Е и проектируя ее на координатные лучи получим векторы которые и определяют аффинную систему задающую данную проективную. Беря на луче Е всевозможные точки Е, получим указанным способом все аффинные координатные системы, задающие данную проективную. Всегда при этом имеем векторное равенство

Поэтому задать в пучке проективную координатную систему — значит задать в этом пучке три луча: два координатных и один единичный Е.

Проективную прямую d считаем раз на всегда поставленной во взаимно однозначное перспективное соответствие с пучком О; последующие рассуждения в равной мере относятся к пучку О и к перспективной ему прямой d, надо только считать равноправными слова «точка прямой d» и «луч m пучка О». В частности, проективная система координат на прямой есть тройка «фундаментальных» точек: две координатные точки , и единичная точка (см. рис. 237). В системе координат сами фундаментальные точки имеют следующую координатную запись:

Каждая точка М прямой (каждый луч пучка О) записывается в виде

где любая пара координат есть пара координат луча в любой аффинной системе координат Оехег, задающей данную проективную систему

Если точка М отлична от точки то для нее и число — называется неоднородной проективной координатой точки М (в данной системе координат).

Пусть наряду с дайной, «исходной» системой координат на прямой d дана вторая, проективная система координат и координатная запись точек в системе есть

Предположим, что пары координат берутся «согласованно» в смысле векторного равенства

означающего, что взятые пары координат суть пары координат соответствующих лучей пучка в одной и той же аффинной системе, задающей данную проективную. Тогда координаты какой-нибудь точки М в системе связаны с координатами той же точки М в системе формулами преобразования координат

формулы (2) — (4) в § 5, стр. 595—596).

Если пары (1) не являются согласованными, то их можно согласовать, умножая первые две из них на множители однозначно определяемые требованием

Рис. 238.

Замечание 1. Пусть на прямой d дана «аффинная» система координат в элементарном смысле главы I с началом о и единичным вектором . Ей соответствует на плоскости пив пучке О вполне определенная аффинная координатная система с тем же первым единичным вектором и вторым вектором (рис. 238). Проективная система координат, определенная в пучке О этой системой переходит (посредством перспективного соответствия между пучком О и прямой d) в систему на прямой d, называемую системой однородных координат на прямой d, соответствующей аффинной системе Точка есть при этом несобственная точка прямой d (это несобственная точка плоскости , удаленная в направлении прямой d); точка есть точка о, а точка есть конец вектора приложенного к точке о.

Координаты точек М прямой d в этой системе координат называются однородными координатами (соответствующими данной аффинной системе). Связь между аффинной координатой и однородными координатами точки М дается формулой

Замечание 2. Если на прямой d даны две точки А и В своими совершенно произвольно фиксированными парами координат в любой «исходной» проективной системе координат (например, в однородной), то любая пара координат (в той же исходной системе) любой точки М прямой d может быть записана в виде

(«параметрическое представление прямой через пары координат точек А и В»). Любая такая запись определяет (при произвольных К и не равных нулю одновременно) некоторую точку М прямой d. При этом, если

то тогда и только тогда, когда Все это следует из того, что, задавая точки А, В вместе с определенными парами их (однородных) координат, мы фактически уже задаем на прямой новую проективную координатную систему: полагая (в аффинной координатной системе на плоскости, соответствующей исходной проективной системе координат на прямой) , получим на плоскости аффинную систему в которой вектор есть направляющий вектор луча ОМ.

Проективное отображение прямой d на прямую d (отличную от прямой d или совпадающую с нею) определяется как отображение А прямой d на прямую d, задаваемое выбором на прямых по проективной системе координат и состоящее в том, что каждой точке М прямой d ставится в соответствие та точка М, которая в координатной системе имеет те самые координаты, которые точка М имела в системе

Совершенно аналогично определяется и проективное отображение пучка О на пучок О, а также проективное отображение прямой d на пучок О.

Если прямые совпадают, так что и суть две проективные координатные системы на одной и той же прямой, то координаты точки в исходной системе определяются по формулам

доказательство совершенно аналогично доказательству соответствующего предложения для проективных преобразований плоскости (см. § 6, стр. 600), только проще. Совершенно так же, как теорема 4 (§ 6) для плоскости, доказывается и следующая

Теорема 7. Пусть — две тройки (попарно различных) точек на проективной прямой. Тогда существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее соответственно точки .

Рассматривая эти точки как фундаментальные точки двух проективных координатных систем на нашей прямой, мы получим искомое преобразование как преобразование, ставящее в соответствие каждой точке М прямой ту точку М, которая в координатной системе имеет те самые координаты, которые точка М имела в системе

Рис. 239.

Если прямые различны, то, считая их раз навсегда перспективно отображенными на один и тот же пучок О, мы можем всякое проективное отображение одной из этих прямых на другую свести к проективному преобразованию пучка О, откуда следует, что теорема 7 имеет место не только для проективного преобразования прямой, но и для проективных отображений одной прямой на другую.

Частным случаем проективного отображения прямой d на прямую d является перспективное отображение. Для того чтобы задать какое-нибудь перспективное отображение прямой d на прямую d (обе прямые предполагаются лежащими в одной плоскости), надо задать какую-нибудь точку О, не лежащую ни на одной из этих прямых (эта точка называется центром тогда перспективное отображение прямой d на прямую d, определяемое выбором точки О, состоит в том, что каждой точке М прямой d ставится в соответствие точка пересечения М прямой d с лучом ОМ пучка О (рис. 239).

То, что всякое перспективное отображение одной прямой на другую есть проективное отображение, доказывается совершенно так же, как аналогичное предложение для перспективного отображения одной плоскости на другую (§ 6, п. 5). Частным случаем проективного отображения пучка О на пучок О (оба пучка предполагаются лежащими в одной и той же плоскости ) является перспективное отображение. Оно задается осыо перспективы, т. е. прямой не являющейся лучом ни одного из пучков О и , и состоит в том, что каждому лучу пучка О, где М — точка пересечения луча от с прямой ставится в соответствие луч пучка О (рис. 240).

Рис. 240.

Для того чтобы убедиться, что полученное таким образом отображение А пучка О на пучок О есть проективное отображение, достаточно взять на прямой какую-нибудь проективную систему координат; она определит в пучках О и О проективные координатные системы Очевидно, луч имеет в системе те же координаты, что и его образ в системе .

Связь между проективными отображениями плоскостей и прямых, лежащих в этих плоскостях, дается следующим предложением.

Теорема 8. Пусть А — проективное отображение плоскости Р на плоскость — прямая на плоскости P, d — ее образ при отображении А.

Тогда отображение А, рассматриваете на множестве точек прямой d, является проективным отображением прямой d на прямую .

Доказательство. Пусть — две различные точки прямой d. Возьмем на плоскости P произвольную точку не лежащую на прямой d, и пусть Е — точка плоскости P, не лежащая ни на одной из прямых (рис. 241). Обозначим через образы точек при отображении А.

Рис. 241.

Пусть точка пересечения прямых . Ее образ при отображении А будет точкой пересечения прямых Рассмотрим две системы проективных координат: на плоскости P и на плоскости P. В этих системах имеем соответственно:

Пусть М — произвольная точка прямой d и — ее образ при отображении А. Точка лежит на прямой d. Так как точка лежит на стороне координатного треугольника то третья ее координата равна нулю.

Пусть

Так как А — проективное отображение, то в системе имеем

Предположим, что обе плоскости отображены посредством фиксированного (перспективного) изоморфизма на связку О, и пусть — аффинная система координат в связке О, задающая проективную координатную систему тогда есть аффинная координатная система в плоскости (и в лежащем в этой плоскости пучке лучей), задающая проективную систему координат на прямой

Рис. 242.

Следовательно, в системе точка М имеет координатную запись .

Подобным же образом устанавливается, что в проективной координатной системе на прямой имеем откуда и следует, что посредством отображения А прямая d проектнвно отображается на прямую

Теорема 9. Всякое проективное отображение прямой d на прямую d слагается из движения прямой d и последующего перспективного отображения.

Доказательство. Пусть при данном проективном отображении прямой d на прямую d точка А прямой d отображается в точку А прямой

Посредством движения прямой d можно совместить точку А с точкой А. Поэтому теорема 9 вытекает из следующего предложения.

Теорема 10. Пусть прямые пересекаются в некоторой точке А. Всякое проективное прямой d на прямую d, отображающее точку А на эту же самую точку, есть перспективное отображение прямой d на прямую .

Доказательство теоремы 10. Возьмем на прямой d две различные точки В и С, ни одна из которых не совпадает с точкой А (рис. 242). Образы точек В и С при данном проективном отображении А обозначим через В и С. Обозначим через О точку пересечения прямых ВВ и СС. Два проективных отображения прямой d на прямую d — заданное отображением А и перспективное отображение прямой d на прямую d с центром перспективы О — отображают три точки А, В, С соответственно на . Следовательно, по теореме 7 оба отображения совпадают между собою, что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются двойственные теоремы.

Теорема 10. Пусть пучки О и имеют общий луч

переходящий в себя при данном проективном отображении Л пучка О на пучок . Тогда это отображение является перспективным.

Из этой теоремы вытекает, что всякое проективное отображение одного пучка на другой слагается из движения и перспективы.