§ 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции)
Рангом билинейной (а также рангом квадратичной) формы называется ранг ее матрицы. Одна и та же билинейная (квадратичная) функция 
в пространстве 
представляется, в зависимости от выбора того или иного базиса, различными билинейными (соответственно квадратичными) формами, матрицы которых связаны формулой (6) § 3. Однако имеет место замечательный факт: у всех этих матриц ранг один и тот же. Итак, имеет место
Теорема 4. Все билинейные (все квадратичные) формы, представляющие в различных базисах пространства 
одну и ту же билинейную (соответственно квадратичную) функцию, определенную в этом пространстве, имеют один и тот же ранг. Его естественно назвать рангом соответствующей функции.
Для доказательства этой теоремы достаточно убедиться в том, что матрицы, образующие левую и правую части равенства (6) § 3, имеют один и тот же ранг. Так как при этом С и 
суть невырождающиеся матрицы, то достаточно доказать следующее вспомогательное предложение:
Теорема 5. Умножая произвольную матрицу А (слева или справа) на невырожденную квадратную матрицу Q, мы не меняем ее ранга.
Доказательство этой теоремы, как мы увидим, опирается на следующее предложение, с доказательства которого мы и начнем.
Теорема 6. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой из перемножаемых матриц.
Теорему 6 достаточно доказать для произведения двух матриц. Итак, пусть
Тогда
Записывая это равенство для данного k и любого 
, видим, что 
столбец матрицы С есть линейная комбинация всех 
столбцов матрицы А (с коэффициентами 
).
Это верно для каждого k, так что столбцы матрицы С являются линейными комбинациями столбцов матрицы А.
Так как ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов, то из только что сказанного и из теоремы 5 главы XII сразу вытекает, что ранг матрицы С не превосходит ранга матрицы А.
Аналогично (опираясь все на то же равенство 
) мы доказали бы, что ранг С не превосходит и ранга В. Теорема 6 доказана.
Теорема 5 является легким следствием теоремы 6. В самом деле, пусть А — матрица ранга 
, состоящая из 
строк и 
столбцов. Пусть 
- невырожденная матрица порядка 
, 
- невырожденная матрица порядка т. Тогда определены матрицы 
докажем, что их ранги 
совпадают с рангом 
матрицы А. Прежде всего, по теореме 6 имеем
Но
и, значит,
т. е. 
. Теорема 5, а следовательно, и теорема 4 доказаны.
