Задачи к главе IV

Задача 7. Доказать, что если - произвольные четыре точки прямой, плоскости или пространства, то всегда имеет место равенство

Доказательство.

Поэтому

Следствие. Если два ребра тетраэдра перпендикулярны к про тивоположным им ребрам, то перпендикулярны и противоположные ребра третьей пары.

Задача 8. Найти вектор v, являющийся ортогональной проекцией вектора и на ось, направление которой определяется вектором а.

Решение. Алгебраическое значение ортогональной проекции вектора и на ось с направляющим вектором а определяется по формуле

Единичный вектор, имеющий направление вектора а, находится из соот» ношения

Следовательно, вектор v, являющийся ортогональной проекцией вектора и на ось с направляющим вектором а, будет

Задача 9. Зная длины трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной нершины, и образуемые ими углы, найти длину диагонали параллелепипеда, выходящей из той же вершины.

Решение. Пусть — длины ребер параллелепипеда, выходящих из вершины О:

обозначим через углы, образуемые этими ребрами:

Пусть d — длина диагонали OD параллелепипеда, выходящей из вершины О. Имеем:

или, полагая

Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:

или

откуда

Задача 10. Доказать, что сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей правильного многоугольника равна где — число сторон многоугольника, а — радиус описанной окружности.

Доказательство. Пусть — правильный многоугольник, — число его сторон, О — его центр, — радиус описанной окружности. Положим

Найдем сумму квадратов сторон и диагоналей многоугольника, выходящих из вершины Имеем:

Возводя эти равенства скалярно в квадрат и складывая, получаем

Но (см. задачу 5)

Поэтому

Точно так же докажем, что сумма квадратов сторон и диагоналей многоугольника, исходящих из любой его вершины, равна .

Так как у многоугольника вершин, то, беря сумму квадратов сторон и диагоналей, исходящих из каждой вершины, и складывая эти суммы, получим в результате число . Но при этом каждую сторону и каждую диагональ мы берем два раза; следовательно, сумма всех сторон и всех диагоиалей правильного -угольника равна .

Задача 11. В вершине куба приложены три силы, равные по абсолютной величине 1, 2 и 3 и направленные по диагоналям граней куба, исходящим из этой вершины.

Определить величину равнодействующей этих сил и ее углы с данными силами.

Решение. Обозначим данные силы через а их равнодействующую через F. Тогда Пусть

Введем прямоугольную систему координат, принимая за начало координат вершину куба, в которой приложены силы, а за оси — ребра куба. Пусть, например, сила F, лежит в плоскости сила в плоскости сила в плоскости Тогда

откуда

Задача 12. Из начала координат выходят два луча, образующие с положительными направлениями осей углы, соответственно равные .

Найти направляющие косинусы биссектрисы угла между данными лучами.

Решение. Отложим на данных лучах единичные векторы:

Их сумма

пойдет по биссектрисе угла между данными лучами, как диагональ ромба далее,

где — угол между данными лучами.

Следовательно, направляющие косинусы биссектрисы угла между данными лучами суть

Задача 13. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до двух вершин А и В треугольника ABC равна квадрату расстояния до третьей его вершины С.

Решение. Введем на плоскости прямоугольную систему координат, и пусть в этой системе .

Если произвольная точка искомого геометрического места, то

откуда для координат точек искомого геометрического места получаем уравнение

или

В полученном уравнении второй степени с двумя неизвестными коэффициенты при квадратах координат одинаковы, а член с произведением координат отсутствует. Следовательно, это уравнение определяет окружность, действительную, нулевую или мнимую.

Выясним, при каких условиях имеет место тот или иной случай. Для этого преобразуем уравнение (2), дополнив выражения, содержащие х и у, до полного квадрата. Мы будем иметь

Преобразуя правую часть уравнения (3), приведем его к такому виду:

Таким образом, координатами центра D найденной окружности будут

а радиус ее определяется из равенства

Определим положение центра относительно вершин треугольника. Из выражений для координат центра находим

Эти равенства показывают, что середины отрезков и CD совпадают. Следовательно, центр D искомой окружности находится в вершине параллелограмма ACBD, противоположной вершине С.

Рассматривая выражение для квадрата раднуса, видим, что квадратные скобки суть квадраты длин сторон СА, СВ и данного треугольника, т. е.

Итак, геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до двух вершин А, В треугольника ABC равна квадрату расстояния до его третьей вершины С, есть

1) окружность, если угол при вершине С острый; центр D этой окружности находится в вершине параллелограмма ACBD, противоположной вершине С; радиус ее

2) единственная точка D, если угол при вершине С прямой;

3) пустое множество, если угол С тупой.