Задачи к главе IX

Задача 35. Даны три некомпланарных вектора:

отложенные от одной точки О и направленные по ребрам трехгранного угла ОАВС. Найти (какой-нибудь) вектор d, который, будучи отложен от точки О, находился бы внутри трехгранного угла ОАВС и образовывал с его ребрами ОА, ОВ и ОС равные углы.

Решение. Рассмотрим векторы

и найдем вектор d, перпендикулярный к плоскости АВС.

Для того чтобы вектор d был перпендикулярен к плоскости АВС, достаточно, чтобы он был перпендикулярен к векторам

и

Поэтому в качестве искомого вектора можно взять, например, вектор

Но

Поэтому

Вектор d составляет равные углы с векторами . Так как эти последние — орты, то для того, чтобы убедиться в равенстве указанных углов, достаточно показать, что

Но

и точно так же

так как

то

Для того чтобы вектор d, будучи отложен от точки О, ггаходился внутри трехгранного угла ОАВС, нужно, чтобы равные между собой углы вектора d с векторами а, с были острыми, для чего в свою очередь необходимо выполнение равенства

Это неравенство будет выполнено, если ориентация пространства выбрана так, что тройка а, с оказывается положительной. В этом случае вектор d удовлетворяет всем требованиям задачи.

Возвращаясь к первоначальным обозначениям, подставим в равенство (2) вместо а, с их значения из равенства (1). Тогда для вектора выражение

Положим, наконец,

Тогда будем иметь

при условии, что тройка с имеет положительную ориентацию.

Задача 36. Даны два вектора причем вектор перпендикулярен к вектору а и равен по длине 1. Найти вектор получающийся поворотом вектора а на угол вокруг оси, направление которой определяется вектором п.

Решение. Вектор получается из вектора а поворотом вокруг

оси на угол . Так как то .

Положим

Имеем

Представим искомый вектор b в виде

и потому

Задача 37. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины трех его ребер, выходящих из одной вершины, и углы между ними.

Решение. Пусть — длины ребер параллелепипеда, выходящих из вершины О:

— углы между ними:

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О, и пусть в этой системе

Объем V параллелепипеда вычисляется по формуле:

Возводя это равенство в квадрат и применяя теорему об умножении определителей, получим

Каждый член последнего детерминанта представляет ссбою скалярное произведение двух из трех векторов, направленных по его ребрам ОА, ОБ, ОС. Имеем

откуда

Задача 38. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра, равных по абсолютной величине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням, равна нулю.

Доказательство. Пусть ОАВС — данный тетраэдр. Будем считать положительной ориентацию пространства, определяемую упорядоченной тройкой векторов ОА, ОВ, ОС. При этом условии следующие упорядоченные тройки векторов имеют положительную ориентацию:

Проверим это, например, хотя бы для последней тройки. Для этого разложим векторы АС, АВ, АО по векторам ОА, ОВ, ОС. Имеем:

Детерминант, составленный из координат векторов АС, АВ, АО, будет

Четыре тройки векторов

АС, АВ, [АС, АВ] ориентированы соответственно так же, как тройки

Так как первые пары векторов соответственных троек одинаковы, то третьи векторы этих троек расположены по одну сторону от граней тетраэдра, определяемых первыми двумя векторами троек. Таким образом, векторы

перпендикулярны к граням тетраэдра, равны по абсолютной величине их площадям и направлены в сторону противолежащих вершин.

Докажем, что их сумма равна нулю. Имеем: