ГЛАВА XV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 1. Определение алгебраических линий и поверхностей

Алгебраическим уравнением от переменных называется уравнение вида

в котором левая часть есть многочлен от этих переменных. Степень многочлена называется степенью уравнения (1).

Множество всех точек арифметического -мерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется многообразием решений этого уравнения или нулевым многообразием многочлена .

Замечание. Если многочлен является однородным, то решение уравнения (1) часто целесообразно рассматривать не как точку, а как вектор пространства (с выбранной в нем системой координат).

В аналитической геометрии линии на плоскости и поверхности в трехмерном пространстве принято определять соответственно как многообразия решений алгебраических уравнений

Примеры нам известны: прямая линия и плоскость суть соответственно нулевые многообразия многочленов первой степени от двух и трех, переменных; известные нам кривые — эллипс, гипербола, парабола — суть многообразия решений своих канонических уравнений;

сфера с центром в начале прямоугольной системы координат есть множество решений уравнения

где есть радиус сферы. Само собою разумеется, для того чтобы эти определения линий и поверхностей имели смысл, необходимо, чтобы в плоскости (в пространстве) была выбрана определенная система координат. При этом, если, уравнение (12), соответственно (13), определяющее данную линию (или поверхность), имеет степень , то говорят, что эта линия (или поверхность) имеет порядок .

Однако с определением линии и поверхности не все обстоит так просто, как кажется на первый взгляд. Множество всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению , совпадает с множеством точек, удовлетворяющих уравнению , и есть ось ординат координатной системы, положенной в основу наших рассуждений. Получается, что прямая линия (в данном случае прямая определяется не только своим «естественным» уравнением первом степени, но еще и некоторыми уравнениями более высоких степеней. Однако в аналитической геометрии считают, и к этому имеются серьезные основания, что уравнение есть уравнение не просто оси ординат, а «дважды взятой оси ординат» — кривой второго порядка, являющейся парой слившихся прямых, каждая из которых есть прямая . Далее, нулевое многообразие каждого из многочленов есть пустое множество; приравнивая эти многочлены нулю, мы получим уравнения, не определяющие никаких реальных линий. Это второе затруднение устраняется пополнением нлоскостн, соответственно пространства, так называемыми мнимыми точками, что приводит к комплексной плоскости и к комплексному пространству, где уже не будет уравнений с пустым множеством решений.

Уже первое замечание — об уравнении — приводит к важному утверждению. Ясно, что два пропорциональных между собою многочлена от данного числа переменных, т. е. два многочлена, каждый из которых получается из другого умножением его на некоторый числовой множитель имеют одно и то же нулевое многообразие. Возникает обратный вопрос: можно ли утверждать, что два многочлена одной и той же степени (хотя бы только от двух или от трех переменных), имеющие одно и то же нулевое многообразие, пропорциональны между собою? Оказывается, что ответ на этот вопрос положителен, если под решениями х, у, соответственно х, у, z, понимать наборы комплексных (не непременно действительных) чисел. Однако это утверждение представляет собою совсем не очевидную и вовсе не так просто доказываемую теорему алгебры, и доказательство ее в общем виде выходит за пределы этих лекций; лишь для многочленов второй степени от двух и трех переменных теорема эта под названием «теоремы единственности» будет доказана в главе XVII (§§ 2 и 10) для линий и в главе XX (§ 5) для поверхностей второго порядка.

Только после того, как эта теорема будет доказана, и после того, как произойдет пополнение плоскости и пространства мнимыми точками, определение линии и поверхности второго порядка как множества точек, являющихся решениями уравнения второй степени от двух, соответственно от трех, переменных, станет на твердую почву. Пока же в уверенности, что разыгравшаяся маленькая драма получит счастливую развязку, мы вынуждены пользоваться следующим, так сказать, рабочим определением:

Задать алгебраическую линию на плоскости — значит задать некоторое алгебраическое уравнение (12) с двумя переменными и некоторую аффинную систему координат на плоскости; тогда те и только те точки координаты которых в данной координатной системе удовлетворяют уравнению (12), считаются лежащими на данной линии (или принадлежащими ей).

Аналогично для поверхностей: задать алгебраическую поверхность в трехмерном пространстве — значит задать алгебраическое уравнение от трех переменных (13) и систему координат в трехмерном пространстве. Те и только те точки ) пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (13), называются точками, лежащими на данной поверхности.

При этом мы считаем, что два уравнения тогда и только тогда определяют одну и ту же линию или поверхность, когда одно из этих уравнений получается из другого почленным умножением на некоторый числовой множитель К.

Если на плоскости дана система координат , то левая часть уравнения (12) — многочлен -определяет функцию от точки плоскости: каждой точке М, имеющей в данной системе координат координаты х, у, соответствует число Если мы перейдем к другой системе координат , то та же точка М, имевшая в системе координаты х, у, получит в системе новые координаты , связанные со старыми формулами преобразования координат:

с матрицей

и детерминантом

Для того чтобы вычислить значение того же числа F(М) через новые координаты х, у точки М, надо в многочлен вместо х и у подставить выражения (2) этих переменных через от этого многочлен тождественно преобразуется в многочлен от новых переменных :

Координаты x, у какой-либо точки M в системе тогда и только тогда удовлетворяют уравнению

когда координаты х, у той же точки в системе удовлетворяют уравнению

Таким образом, задавая какую-нибудь алгебраическую линию ее уравнением (12) в данной системе координат , мы сразу же можем написать и ее уравнение (12) в любой другой системе координат - оба уравнения (12) и (1), рассматриваемые соответственно относительно координатных систем , задают одну и ту же алгебраическую линию. При этом, если алгебраическая линия задана в данной системе координат уравнением (12) степени , то и во всякой другой системе координат она задается уравнением той же степени т. В самом деле, при подстановке (2) каждый член многочлена переходит в выражение

которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов дает нам некоторую совокупность членов многочлена , каждый из которых имеет степень Итак, при переходе от координатной системы к координатной системе . степень многочлена не может повыситься. Но она не может и понизиться, так как тогда при обратном переходе от к степень многочлена должна была бы повыситься.

Итак, степень уравнения (12), задающего (в какой-нибудь системе координат) данную алгебраическую линию, есть число, не зависящее от выбора системы координат; это число и называется порядком алгебраической линии, задаваемой уравнением (12).

Все сказанное о кривых дословно переносится и на случай поверхностей: при переходе от координатной системы , к координатной системе , в многочлене ), являющемся левой частью уравнения ,

данной поверхности, происходит преобразование, или, как говорят, замена переменных:

При этой замене переменных многочлен тождественно преобразуется в многочлен , причем степень многочлена равна степени многочлена . Поверхность, определявшаяся в системе координат уравнением (13), определяется в системе координат уравнением . Степень уравнения, определяющего данную алгебраическую поверхность, не зависит от выбора системы координат; она называется порядком данной алгебраической поверхности.