§ 8. Проективная классификация кривых второго порядка

Пусть дана кривая второго порядка

на проективной плоскости

Предположим сначала, что квадратичная форма имеет ранг 3, т. е. что кривая (1) нераспадающаяся. Тогда невырожденным линейным однородным преобразованием

форма может быть приведена к форме имеющей один из следующих видов;

Здесь третья и четвертая строчки получаются соответственно из второй и первой умножением на —1. Так как нас интересуют не сами формы а уравнения, полученные приравниванием этих форм нулю, и так как формулы (2) суть формулы перехода от однородных координат к ироектииным координатам то мы можем высказать следующее предложение;

Всякая нераспадающаяся кривая второго порядка в надлежаще выбранной системе проективных координат получает одно из следующих уравнений:

Разрешая уравнения (2) относительно (что возможно, так как ), получаем:

Эти формулы мы можем рассматривать как формулы проективного преобразования плоскости: каждой точке X с однородными координатами в силу формул (4), соответствует точка X с однородными координатами .

При этом, если удовлетворяют уравнению

то удовлетворяют уравнению

Другими словами, при проективном преобразовании, определяемом формулами (4), кривая (1) переходит в кривую

Следовательно, полученный результат может быть сформулирован и так:

Надлежаще подобранным проективным преобразованием всякая нераспадающаяся кривая второго порядка может быть преобразована в кривую у одного из двух следующих видов:

или

При этом уравнения всех кривых рассматриваются в одной и той же системе проективных координат; мы будем ее считать системой однородных координат на проективной плоскости , а именно системой, соответствующей данной аффинной системе координат на плоскости .

Кривая вида (5) не содержит действительных точек; она называется мнимым овалом.

Кривая вида (6) при переходе к неоднородным координатам в системе получает уравнение

Если система координат прямоугольная, то кривая просто окружность.

Итак, всякая действительная нераспадающаяся кривая второго порядка проективным преобразованием может быть преобразована в окружность. Следовательно, любые две действительные нераспадающиеся кривые второго порядка могут быть переведены друг в друга; все такие кривые образуют один и тот же проективный класс — класс действительных овальных кривых.

Как следует из результатов; установленных в § 1, действительная овальная кривая является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно несобственной прямой: эллипсы пересекают несобственную прямую в двух различных мнимых точках, гиперболы — в двух различных действительных точках, параболы касаются несобственной прямой.

Найдем проективное преобразование, переводящее гиперболу

в окружность

(система координат прямоугольная).

Для этого перепишем уравнение (8) в однородных координатах:

и сделаем проективное преобразование:

Гипербола (8) переходит при этом преобразовании в кривую, состоящую из всех точек удовлетворяющих уравнению

Так как в уравнении (11) через обозначены координаты переменной точки в тех же однородных координатах, то нет надобности обозначать эти координаты штрихованными буквами: просто при проективном преобразовании (10) кривая (9) переходит в кривую

или, в неоднородных координатах, в окружность

Полученный результат естественно вытекает из того, что при преобразовании (10) несобственная прямая

перешла в прямую , а в несобственную прямую перешла прямая т. е. ось ординат, с которой гипербола (8) не имела общих действительных точек. Поэтому преобразованная кривая не будет пересекать в действительных точках образ оси ординат, т. е. несобственную прямую; она будет вся расположена в конечной части плоскости.

Возьмем параболу

или, в однородных координатах,

При проективном преобразовании

(при котором ) кривая (13) переходит в кривую с уравнением

или, в прямоугольных координатах, в кривую с уравнением

т. е.

Кривая эта представляет собою окружность. Итак, проективное преобразование (14) переводит параболу в окружность (7).

Переходим к случаю, когда форма имеет ранг 2. Тогда эта форма преобразованием (2) приводится к одному из двух видов:

Кривая (1) проективным преобразованием (4) переводится либо в кривую

либо в кривую

Кривая (15) есть пара мнимых прямых; их уравнение в неоднородных координатах есть

Кривая (16) есть пара действительных прямых

Наконец, если ранг формы равен 1, то эта форма преобразованием вида (2) приводится к виду

Это значит, что некоторым проективным преобразованием (4) кривая (1) переводится в кривую

— в пару совпадающих прямых.

Итак, имеет место следующая

Теорема 13. Невырождающаяся кривая второго порядка есть овал (действительный или мнимый), некоторым проективным преобразованием она переводится соответственно в действительную окружность

т. е.

или в мнимую окружность

т. е.

Вырождающаяся кривая второго порядка есть пара прямых, действительных (быть может, совпадающих) или мнимых сопряженных, В то же время все перечисленные пять типов кривых проективно различны: очевидно, ни одна из них не может быть переведена в другую посредством проективного преобразования.

Замечание. Последнее утверждение, очевидное геометрически, вытекает также из следующего предложения, являющегося в свою очередь следствием теоремы единственности, с одной стороны, и теоремы об инвариантности ранга и индекса квадратичной формы, с другой.

Теорема 14. Если

суть уравнения в данной проективной системе координат I двух проективно эквивалентных кривых второго порядка то формы ) имеют один и тот же ранг, а сигнатуры их имеют одну и ту же абсолютную величину (могут отличаться только знаком).

В самом деле, пусть при проективном преобразовании, переводящем кривую в кривую проективная система координат переходит в проективную систему координат . Тогда кривая имеет в системе координат 1 то же уравнение, которое кривая имела в системе I, т. е. уравнение .

Но при переходе от системы координат к системе уравнение кривой тождественно преобразуется в какое-то уравнение той же кривой . Итак, кривая имеет в одной и той же системе координат два уравнения: . Значит, формы как левые части уравнений одной и той же кривой в одной и той же системе координат , могут отличаться лишь постоянным множителем, так что их сигнатуры совпадают, а индексы могут отличаться лишь знаком. В то же время форма получилась из формы тождественным преобразованием (переходом от переменных к переменным ), значит, ранг и индекс форм одни и те же; поэтому ранги форм совпадают, а сигнатуры могут отличаться лишь знаком.

Теорема доказана.