ГЛАВА III. АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Определение аффинной системы координат

1. Аффинная система координат на плоскости. Общая, или аффинная, система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных векторов (рис. 31), данных в определенном порядке: есть первый, а — второй вектор; векторы определяют две оси, пересекающиеся в точке О, — первую и вторую ось координат — и являются по определению единичными векторами этих осей. Первая ось называется также осью абсцисс или осью , а вторая — осью ординат или осью данной координатной системы. Сама система координат обозначается через или через .

Рис. 31.

Пусть М — какая-нибудь точка плоскости; обозначим через проекции точки М соответственно на первую и вторую ось координат (проекции на каждую ось берутся вдоль другой оси) (Рис. 32).

Рис. 32.

Алгебраические значения векторов являются соответственно первой и второй координатой (абсциссой и ординатой) точки М.

Любая пара чисел х, у однозначно определяет точку М, для которой х является первой, а у — второй координатой. В самом деле, искомая точка М является концом вектора ОМ, проектирующегося

на векторы . Значит,

т. е. вектор ОМ есть диагональ параллелограмма, построенного на , чем точка М определена однозначно. Точка М с координатами обозначается так: . Система координат включает в себя базис многообразия всех векторов на плоскости. Координаты произвольного вектора и относительно базиса называются координатами вектора и относительно системы координат они являются алгебраическими значениями проекций вектора и на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 33). Вектор и с координатами обозначается так: тогда

Условие характеризует векторы, коллинеарные оси ординат, а условие характеризует векторы, коллинеарные оси абсцисс.

Рис. 33.

Очевидно, координаты любой точки М в данной системе координат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат. Замечание 1. Если точка О отлична от точки О, то

поэтому координаты точек (в отличие от координат вектора) зависят от выбора начала координат.

Начало координат О разбивает каждую из координатных осей на две полуоси: положительную, идущую от начала координат в положительном направлении (т. е. в направлении единичного вектора этой оси), и отрицательную.

Ось абсцисс состоит из всех точек, ординаты которых раины нулю; она разбивает плоскость на две полуплоскости; та, в которой лежит положительная полуось оси ординат, характеризуется тем, что ординаты лежащих в ней точек положительны; во второй полуплоскости лежат точки с отрицательными ординатами.

Аналогично ось ординат состоит из всех точек, абсциссы которых равны нулю; она разбивает плоскость на две полуплоскости; точки той из них, в которой лежит положительная полуось оси абсцисс, имеют положительные абсциссы; точки другой полуплоскости имеют отрицательные абсциссы.

Совокупность обеих координатных осей разбивает плоскость на четыре области, называемые «квадрантами» (рис. 34); в первом квадранте лежат точки, обе координаты которых положительны, во втором — точки с отрицательной абсциссой и положительной ординатой, в третьем — точки, обе координаты которых отрицательны, и в четвертом — точки, у которых абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Обе координаты начала координат, очевидно, равны нулю:

Замечание 2. Система координат на плоскости с началом О и единичными векторами определяет на каждой координатной оси свою систему координат, началом которой является точка О, а единичным вектором — лежащий на данной оси вектор или . Очевидно, каждая из координат точки М есть координата проекции этой точки на соответствующую координатную ось.

Аналогично координаты вектора суть координаты проекций и этого вектора на оси координат, т. е. алгебраические значения векторов и на соответствующей оси.

Два вектора АВ и CD равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Если , то для координат вектора АВ имеем:

Рис. 34.

Достаточно доказать первое из этих равенств. Координата есть алгебраическое значение вектора на оси абсцисс (рис. 35):

кроме того, . По лемме Шаля имеем

т. е. , откуда утверждение следует.

2. Аффинная система координат в пространстве. Все сказанное с очевидными изменениями применяется и к случаю пространства. Аффинная система координат в пространстве состоит из точки О («начало координат») и приложенных к этой точке трех некомпланарных векторов (рис. 36), данных в определенном порядке — первый, второй, — третий) — единичных векторов данной системы координат. Каждый из этих векторов определяет проходящую через начало О ось, единичным вектором которой он является; эти оси называются первой, второй и третьей осью координат или соответственно «осью (осью абсцисс), «осью (осью ординат) и «осью (осью аппликат - последнее название, впрочем, употребляется нечасто). Каждые две координатные оси определяют проходящую через них координатную плоскость. Так, оси определяют координатную плоскость или и т. д.

Рис. 35.

Рис. 36.

Первой, второй, третьей координатой данного вектора и называются соответствующие его координаты относительно базиса , т. е. соответствующие коэффициенты в представлении

Они равны алгебраическим значениям проекций вектора и на оси, определенные соответственно векторами (проекции на каждую ось берутся вдоль плоскости, несущей две другие оси).

Координаты вектора не зависят от выбора начала координат О.

Координаты точки М суть по определению координаты вектора ОМ (рис. 37). Если суть проекции точки — проекции вектора ОМ на оси координат, то координаты х, у, z точки М суть алгебраические значения векторов . Тогда

Векторы, коллииеарные данной координатной оси, характеризуются тем, что равны нулю их координаты, соответствующие двум другим осям.

Мы уже знаем из главы II, что при сложении векторов их одноименные координаты складываются, а при умножении вектора и на число Я на это А умножается каждая координата вектора и. Отсюда (и из главы II, § 4, предложение 5) сразу следует, что два вектора тогда и только тогда коллинеарны, когда координаты одного из ник пропорциональны координатам другого.

Рис. 35.

Каждая тройка чисел х, у, z (данных в определенном порядке) Однозначно определяет точку М пространства, тройкой координат которой она является. Для получения этой точки М надо приложить к точке О вектор , т. е. взять диагональ параллелепипеда, построенного на векторах . Точка М с координатами х, у, z обозначается так: М=(х, у, z).

По определению координат точки М вектор ОМ имеет те же координаты, что и его конец М. Вообще, если то вектор АВ имеет координаты доказательство совершенно аналогично тому, которое мы провели в случае плоскости.

Рис. 38.

Координатная плоскость характеризуется тем, что ее точки имеют коордикату Эта плоскость разбивает пространство на два полупространства; координата z у всех точек одного из этих полупространств положительна, у точек другого — отрицательна. Аналогичные утверждения справедливы и для других координатных плоскостей.

Каждое из двух полупространств, на которое пространство разбито плоскостью , двумя другими координатными плоскостями разбивается на четыре области, соответствующие четырем квадрантам, на которые плоскость разбивается осями . Всего, таким образом, получаем восемь областей, называемых октантами, на которые пространство разбивается совокупностью трех координатных плоскостей (рис. 38). Точки каждого октанта характеризуются распределением знаков своих координат следующим образом:

Кроме того, имеем для точек плоскости для плоскости для плоскости на оси имеем на оси имеем на оси имеем . Для начала координат О имеем