§ 11. Детерминант n-го порядка как линейная нечетная нормированная функция от n векторов

Мы видели, что детерминант порядка

рассматриваемый как функция от и векторов:

обладает свойством линейиости по всем своим аргументам, означающим, что

а также свойством нечетности, или антикоммутативности, означающим, что функция, сохраняя свою абсолютную величину, меняет знак, если поменять местами два каких-либо ее аргумента:

Кроме того, функция , как говорят, нормирована. Это означает, что, полагая

имеем

Мы докажем сейчас следующее фундаментальное предложение. Теорема 9. Если функция от векторов (I) обладает свойствами линейности по всем своим аргументам, нечетности и нормированности, то она есть детерминант .

Желая обойтись без длинных формул, мы докажем эту теорему для - доказательство имеет общий характер и годится для любого (в чем читатель должен убедиться сам). Итак,

т. е.

Вычисляем, основываясь на линейности функции по всем ее аргументам:

В этой сумме индексы i, j, k независимо друг от друга принимают значения 1, 2, 3, так что всего имеется 27 слагаемых.

Из нечетности функции d следует, однако, что при равенстве; двух каких-либо из индексов i, j, k значение функции обращается в нуль (так как перестановка этих индексов, с одной стороны, не меняет значения функции, а с другой — меняет его знак, так что, например, ), откуда .

Поэтому в сумме (4) все те слагаемые, в которых имеются два равных индекса, обращаются в нуль, и остаются лишь слагаемые, соответствующие всевозможным перестановкам трех индексов 1, 2, 3, так что

Но в силу нормированности, а в силу нечетности функции при нечетной перестановке аргументов знак функции меняется на обратный, а при четной — остается неизменным. Поэтому

т. е.

Подставляя это в (5), получаем

суммирование по всем перестановкам i, j, k из трех цифр 1, 2, 3, т. е.

или

что и требовалось доказать.