§ 3. Объем ориентированного параллелепипеда

1. Некоторые частные случаи определения ориентации пространства. Пусть два аффинных репера и имеют два общих вектора и общее начало О. Эти реперы одноименны тогда и только тогда, когда третьи векторы направлены в одну и ту же сторону от плоскости .

Рис. 112.

В самом деле, если векторы (рис. 112) лежат но одну сторону от плоскости , то по ту же сторону лежит и весь отрезок .

Тогда для каждого значения t, обозначаем через точку, делящую отрезок в отношении , и, полагая, , получим переменный репер , осуществляющий деформацию, переводящую репер .

Если расположены по разные стороны от плоскости (рис. 113), то векторы — расположены по одну сторону, значит, по только что доказанному, реперы и одниоименны, значит, реперы и , разноименны.

Рассмотрим частный случай последней теоремы, когда вектор перпендикулярен к плоскости ; тогда векторы направлены в одну и ту же или в разные стороны от плоскости (рис. 114) в зависимости от того, будет ли угол между ними острым или тупым.

Заметим, что в первом случае будет

во втором

Мы доказали следующее предложение:

Если — какой-нибудь вектор, перпендикулярный к двум неколлинеарным векторам — какой-нибудь вектор, не компланарный

Рис. 113.

Рис. 114.

векторам , то реперы и тогда и только тогда одноименны, когда .

Мы сейчас воспользуемся этим предложением.

2. Объем ориентированного параллелепипеда. Пусть пространстве ориентировано. Пусть u, v, w — тройка некомпланарных векторов, данных в определенном порядке (в том, в каком они написаны).

Приложим их к какой-нибудь точке О:

и построим на них параллелепипед. Объем этого параллелепипеда, снабженный знаком , если репер положительный, и ком , если этот репер отрицательный, называется объемом визированного параллелепипеда, построенного на векторах u, v, w, и обозначается через .

Замечание. Если векторы u, v, w компланарны, то полагаем

Рассматривая число как функцию трех векторов u, v, w, заметим, что из ее определения непосредственно следует нечетность функции , т. е.

Предложение 1. Функция при перестановке двух каких-нибудь из ее аргументов u, v, w изменяет знак, не меняя солютной величины.

При умножении какого-либо из трех векторов u, v, w на число знак тройки векторов u, v, w при остается неизменным, а при меняется на противоположный; что же касается элементарно определенного (т. е. положительного) объема параллелепипеда, построенного на векторах u, v, w, то он, очевидно, умножается на . Поэтому

Предложение 2. При умножении одного из векторов U, v, W на какое-нибудь число на это же число умножается и .

Обозначим через орт, перпендикулярный к плоскости к направленный так, чтобы репер был положительным (рис. ).

Тогда знак репера , как мы видели, совпадает со знаком числа .

Будем считать (неориентированный) параллелограмм OADB , построенный на векторах

основанием нашего параллелепипеда; площадь этого параллелограмма (положительную) обозначим через А.

Высотой параллелепипеда, соответствующей выбранному нами основанию, будет число

так что число имеет модуль, равный , и знак, совпадающий со знаком . Другими словами,

Отсюда сразу получим (подставляя в последнем равенстве и помня, что :

Так как каждый из векторов u, v может быть (согласно предложению 1) поставлен на третье место, то наряду с (23) имеем

Предложение 2 и формулы означают, что функция линейна по каждому из своих аргументов.

Рис. 115.

Пусть в пространстве положительный прямоугольный репер . Векторы u, v, w получают теперь координатную запись:

Кроме того, . Так как базис положителен, то

Итак, функция линейна но трем своим аргументам, она нечетна и нормирована в смысле равенства (4).

Поэтому на основании теоремы 9 § 11 главы VII функция есть не что иное, как

— ориентированный объем параллелепипеда, построенного на трех векторах u, v, w, данных своею координатной записью (3), есть детерминант третьего порядка (5).

Мы получили не только обобщение на случай трех измерений теоремы о площади ориентированного параллелограмма, но и геометрическое истолкование детерминантов, которое является основой и для понятия объема в -мерном пространстве.