§ 3. Центральный случай

Итак, поворотом первоначальной прямоугольной системы координат на угол а, определяемый из формулы (10) предыдущего параграфа, мы приводим многочлен

к виду

Дальнейшее исследование кривой заключалось в разборе двух случаев: центрального (когда ) и параболического (когда лишь одно из двух чисел отлично от нуля). Так как то центральный случай есть случай а параболи

Предположим, что Докажем, что в этом случае можно до всякого поворота системы координат переносом начала, т. е. преобразованием

преобразовать многочлен в

При этом в (2), т. е. координаты нового начала являются однозначно определенными. В самом деле, подставим в (1). Получим

Теперь определяем так, чтобы коэффициенты при и обратились в нуль, т. е. чтобы

Так как по предположению

то уравнения (3) решаются однозначно и дают нам искомые . Теперь, имея корни характеристического уравнения

нам остается только определить угол а из формулы (10) предыдущего параграфа и — посредством поворота координатной системы на этот угол — преобразовать многочлен (1) в

Определим свободный член . Для этого воспользуемся инвариантностью детерминанта

откуда

Итак, при переходе от первоначальной системы координат к новой системе многочлен тождественно преобразовался в

Нами доказана следующая

Теорема 2. Пусть в произвольной прямоугольной системе координат дана кривая второго порядка своим уравнением

у которого

Возьмем нозую систему координат начало которой есть точка определенная уравнениями (3), а ось абсцисс наклонена к оси под углом , определенным уравнением (10) предыдущего параграфа. В системе координат кривая имеет уравнение

Замечание 1. Как видно из уравнения (4), точка являющаяся началом новой координатной системы есть центр симметрии нашей кривой.

Мы увидим в следующей главе, что в случае кривая имеет единственный центр симметрии. Поэтому кривая называется в этом случае центральной.

Замечание 2. Существенно отметить, что и новую систему координат (т. е. ее начало и наклон оси к старой оси абсцисс ), и все три коэффициента уравнения (4) мы непосредственно, без всяких сложных вычислений определяем по коэффициентам первоначального уравнения

нашей кривой.

Уравнение (4) называется приведенным уравнением центральной кривой. Его исследование быстро доводится до конца (по существу, повторением рассуждений § 1, и, 2).

При уравнение (4) имеет вид

и определяет пару прямых, пересекающихся в начале координат О (т. е. в центре кривой). Эти прямые действительные при мнимые (сопряженные) при

Пусть уравнение т. е. уравнение (8) §1, в котором положено переписывается тогда в вида

Имеем два случая:

а) Случай гиперболический. обозначая через тот из двух корней характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком , полагаем

получаем уравнение гиперболы

б) Случай эллиптический. числа и одного знака, и этот знак совпадает со знаком их суммы

Если этот знак S противоположен знаку , то можно положить (обозначая через из двух корней характеристического уравнения, для которого )

получаем уравнение эллипса

если же знак S (т. е. знак и ) совпадает со знаком , то полагаем

уравнение (5) превращается в уравнение

мнимого эллипса.

Рассмотрим частный случай Тогда в (7), соответственно в (8), имеем и мы получаем уравнение окружности: действительной

или мнимой

Как было сказано в §2, замечание 2, корни характеристического уравнения равны между собою тогда и только тогда, когда одновременно

Так как при этом исходная система координат — совершенно произвольная прямоугольная система, то уравнение окружности в любой прямоугольной системе координат имеет вид

или (по сокращении на )

Обратно, если в какой-нибудь прямоугольной системе координат кривая определена уравнением (9), то эта кривая есть окружность;

Для получения ее канонического уравнения достаточно перенести начало координат в точку определяемую уравнениями (3), которые теперь (для кривой ) имеют вид

И действительно, полагая в (9)

получаем (после приведения подобных членов)

что дает действительную окружность при мнимую при а . При получаем

т. е.

— пару мнимых прямых с угловыми коэффициентами такие прямые называются изотропными. Итак, окружность нулевого радиуса есть пара изотропных прямых, пересекающихся в одной действительной точке (центре окружности).

Подведем итог.

В центральном случае, имеем такие возможности:

Замечание 3. Мы видели (замечание 1 § 2), что если многочлен удовлетворяет какому-нибудь из условий то тому же условию удовлетворяет и многочлен , в который перешел многочлен при переходе от координатной системы к произвольной аффинной координатной системе . Аналогичное утверждение верно и для инварианта S (в случае определенной квадратичной формы см. замечание 1 § 2 на стр. 406).

Поэтому только что приведенная таблица, решающая вопрос о том, находимся ли мы в центральном или нецентральном (параболическом) случае, а также в. эллиптическом или гиперболическом, вырождающемся или невырождающемся случае, сохраняет свою силу при произвольно выбранной аффинной координатной системе.