§ 12. Основная теорема об аффинных преобразованиях

Элементарная теория кривых второго порядка позволяет дать простое доказательство одного из важнейших свойств аффинных преобразований плоскости.

Пусть при аффинном преобразовании А плоскости кривая второго порядка К переходит в кривую К. Так как при аффинном отображении отрезок переходит в отрезок, причем середина отрезка переходит в середину отрезка, то при преобразовании А центр кривой К переходит в центр кривой К.

Так как при афинном преобразовании параллельность прямых сохраняется, то всякий пучок параллельных хорд кривой К переходит в пучок параллельных хорд кривой К, середины хорд первого пучка переходят в середины хорд второго пучка, а значит, диаметр, сопряженный хордам первого пучка, переходит в диаметр, сопряженный хордам второго пучка. Отсюда вытекает

Теорема 12. Пусть при данном аффинном преобразовании данная кривая второго порядка К переходит в кривую К, тогда всякая пара сопряженных диаметров кривой К переходит в пару сопряженных диаметров кривой К.

Выведем отсюда следующее основное свойство аффинных преобразований.

Теорема 13. Всякое аффинное преобразование плоскости вляется произведением собственного или несобственного движения и двух сжатий (растяжений) плоскости, происходящих в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Доказательство. Возьмем аффинное преобразование обратное к преобразованию А, и рассмотрим какую-нибудь окружность К радиуса 1 с центром О. При аффинном преобразовании окружность К переходит в эллипс К, а центр О окружности К переходит в цеитр О эллипса К. При этом всякая пара взаимно перпендикулярных, т. е. сопряженных, диаметров окружности К переходит в пару сопряженных диаметров эллипса К.

При отображении А, обратно, эллипс К переходит в окружность К, центр О эллипса К переходит в центр О окружности К, а всякая пара сопряженных диаметров эллипса переходит в пару сопряженных, т. е. взаимно перпендикулярных, диаметров окружности К. Но среди пар сопряженных диаметров эллипса имеется пара его главных осей (и они взаимно перпендикулярны). Сделаем эти главные оси эллипса (фокальную и вторую) осями координат аффинной системы (рис. 194), единичные векторы которой суть соответственно векторы ведущие в соответствующие вершины А и В эллипса (длины векторов обозначим через ).

Рис. 194.

При нашем аффинном преобразовании А пара главных осей эллипса перейдет в пару сопряженных и, следовательно, взаимно перпендикулярных диаметров окружности, которые примем за оси координат системы За единичные векторы этой системы примем радиусы (они имеют длину 1). При аффинном преобразовании А пара взаимно перпендикулярных прямых переходит в пару взаимно перпендикулярных прямых а отрезки , лежащие на и имеющие соответственно длины а и переходят в отрезки длины 1, лежащие на . В чем же состоит аффинное преобразование Очевидно, во-первых, в движении (собственном или несобственном), которое переносит пару взаимно перпендикулярных прямых соответственно в пару взаимно перпендикулярных прямых и в последующем сжатии или растяжении вдоль этих последних прямых в отношении и Теорема 13 доказана.

Из теоремы 13 вытекает

Следствие. Пусть аффинное преобразование А представлено в виде произведения ортогонального преобразования (т. е. собственного или несобственного движения) и двух сжатий с коэффициентами Тогда отношение длины образа любого отрезка к длине прообраза этого отрезка заключено между числами

В самом деле, пусть — какой-нибудь вектор, его образ при преобразовании А. Так как ортогональное преобразование не меняет длины вектора, то можно предположить, что преобразование есть произведение двух сжатий к осям прямоугольной системы координат с коэффициентами .

Без ограничения общности можно предположить, что, например, . Тогда

Поэтому

Аналогично

т. е.

что и требовалось доказать.

Если при этом то для любого вектора а и его образа и имеем

— преобразование А есть преобразование подобия. Итак:

Аффинное преобразование, являющееся произведением ортогонального преобразования и двух сжатий с одним и тем же коэффициентом, есть преобразование подобия. Отсюда в свою очередь в виде непосредственного следствия вытекает

Теорема 14. Аффинное преобразование, отображающее всякую окружность на окружность, есть преобразование подобия.