§ 3. Понятие об n-мерном проективном пространстве

Определение n-мерного проективного пространства для любого совершенно аналогично определению пространства по существу, n-мерное проективное пространство есть связка в n-мерном аффинном пространстве т. е. совокупность всех прямых («лучей»), а также плоскостей всевозможных размерностей пространства проходящих через данную точку О, причем лучи связки переименовываются в точки пространства двумерные плоскости связки — в прямые пространства вообще, -мерные плоскости связки, переименовываются в (-мерные плоскости проективного пространства . Система аффинных, а затем и проективных координат в связке О пространства определяется, как выше при Введение в связке аффинной системы координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между лучами связки и классами пропорциональных между собою последовательностей из чисел, что автоматически приводит к понятию n-мерного арифметического проективного пространства, точками которого являются сами эти числовые классы Гиперплоскости (т. е. (-мерные плоскости) в n-мерном проективном пространстве определяются каким-либо линейным однородным уравнением

относительно однородных координат множество точек этому уравнению удовлетворяющих, и образует гиперплоскость, определенную данным уравнением (1).

Коэффициенты произвольного уравнения (1) данной плоскости определены с точностью до общего числового множителя, эти коэффициенты называются координатами данной гиперплоскости. Системы, состоящие из линейно независимых однородных уравнений вида (1), определяют -мерные плоскости пространства Общая теория линейных однородных уравнений, изложенная в главе XII, § 8 без труда приводит и к параметрическому представлению -мерной плоскости любого числа измерений в -мерном проективном пространстве

Определение систем проективных координат и проективных преобразований -мерного проективного пространства совершенно аналогично соответствующим определениям в частном случае и может быть предоставлено читателю.

Плоскость в арифметическом проективном пространстве выделяется в качестве несобственной; ее точки называются несобственными точками соответствующего «проективно-аффинного» пространства.

Выделение несобственных точек и несобственной гиперплоскости имеет и в общем случае тот же смысл, как и при оно позволяет рассматривать проективное пространство как результат пополнения аффинного пространства несобственными точками.

Полное перенесение со строгими доказательствами всего материала, изложенного в §§ 1 и 2 настоящей главы, на общий случай -мерного проективного пространства может быть рекомендовано читателю как весьма полезное упражнение,