§ 3. Ось. Алгебраическое значение (координата) вектора на оси

Пусть на прямой дан единичный вектор, т. е. вектор, который примят за единицу измерения длин (см. § 1), а его направление объявлено положительным на всей этой прямой. Тогда мы говорим, что наша прямая превращена в ось. Можно, очевидно, сказать и так: ось есть прямая, на которой выбрана единица измерения длин и одно из двух направлений названо положительным. Если это сделано, то всякий вектор длины единица и положительного направления и будет единичным вектором данной оси.

Отношение любого вектора и на данной оси к единичному вектору этой оси называется алгебраическим значением или координатой вектора и на данной оси. Таким образом, алгебраическое значение вектора и на оси есть число, модуль которого равен длине вектора и, измеренной данной на оси единицей длины, а знак положителен, если направление вектора положительно, и отрицателен в противиом случае. Алгебраическое значение вектора АВ будем обозначать через . Из этого определения непосредственно вытекают следующие предложения.

1. Два вектора на данной оси равны тогда и только тогда, когда равны их координаты (их алгебраические значения).

2. Если два вектора имеют одну и ту же длину, но противоположны по направлению, то их алгебраические значения имеют один и тот же модуль, но противоположны по знаку:

3. Координата единичного сектора равна 1.

Если вектор PQ есть единичный вектор, то, обозначая координаты векторов АВ, CD соответственно через , видим, что левая часть равенства (2) из § 2 есть , так что само это равенство превращается в , т. е.

4. Отношение двух векторов на прямой равно отношению их координат.

Имеет место следующее предложение, являющееся лишь геометрическим истолкованием правила сложения чисел знаками).

5 (Лемма Шаля). При любом расположении точек А, В, Сна оси имеет место числовое равенство

В самом деле, если две из трех точек А, В, С совпадают (например, или , то равенство (2) сводится к тождеству или же к тождеству (1).

Пусть все три точки А, В, С попарно различны между собою. Тогда одна из них лежит между двумя другими (рис. 1). Если В лежит между А и С, то

векторы АВ, ВС и АС имеют одно и то же направление, их алгебраические значения имеют один и тот же знак, значит, число (АС) равно сумме (АВ+(ВС), т. е. равенство (2) справедливо.

Пусть теперь С лежит между А и В. Тогда по только что замеченному

Но в силу (1)

— равенство (2) снова справедливо: .

Аналогично доказывается и третий случай, когда А лежит между В и С.

Рис. 1.