§ 3. Угол от одного вектора до другого на плоскости

В §§ 1, 2 мы рассматривали векторы в пространстве. В этом параграфе будем рассматривать лишь векторы, лежащие в плоскости.

Вращением плоскости вокруг данной ее точки О (центр вращения) называется движение этой плоскости по себе самой, заключающееся в том, что точка О остается неподвижной, а все остальные точки перемещаются но (лежащим в нашей плоскости) окружностям с центром О.

Вращение плоскости вокруг центра О можно производить в двух направлениях: по часовой стрелке и против нее.

Предположим, что в плоскости задана прямоугольная система координат . Посредством вращения вокруг точки О орт можно совместить с ортом двумя способами: повернув его на угол в одном или на угол в противоположном направлении.

Мы условимся считать положительным то из двух направлений вращения, которое переводит орт в орт посредством поворота на . Таким образом, если на плоскости дана прямоугольная система координат, то определено и положительное направление вращения.

Пусть на данной плоскости одно из двух возможных направлений вращения выбрано в качестве положительного. Возьмем на лашей плоскости два вектора и и v. Приложим оба вектора к одной и той же точке О (рис. 50), так что

Рис. 50.

Назовем углом от вектора и до вектора v или наклоном вектора v к вектору и тот угол , на который в положительном направлении надо повернуть вектор и так, чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол изменяется от 0 до . Если и есгь единичный вектор какой-либо оси, то угол от вектора вектора v называется углом наклона или просто наклоном вектора v к данной оси.

Рис. 51.

Пусть в плоскости дана прямоугольная система координат. Для угла наклона а вектора к оси абсцисс (рис. 51) имеем, очевидно,

Эти равенства могут служить определением тригонометрических функций. В частности, если есть орт (рис. 52), то его координаты и суть . Поэтому формула (9) из § 2, дающая выражение алгебраического значения проекции вектора на ось, определенную ортом , принимает теперь вид

Рис. 52.

Если векторы наклонены к оси абсцисс соответственно под углами (рис. 53), то угол от вектора до вектора на есть, очевидно,

(Надо сначала повернуть вектор на угол — тогда он пойдет по направлению сделав еще поворот на угол — все время в положительном направлении, — получим направление вектора , наклоненного к оси абсцисс под углом , так что ). Из формулы (2) следует при

Рис. 53.

Мы получили, в частности, уже известную нам формулу для .